Question

8．已知函数f（x）=e^x-x²-1，x∈R
（1）求函数f（x）的图象在点（0，f（0））处的切线方程；
（2）当x∈R时，求证：f（x）≥-x²+x．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，计算f（0），f′（0），求出切线方程即可；
（2）令φ（x）=f（x）+x²-x=e^x-x-1，求出函数的导数，根据函数的单调性证明即可．

解答 解：（1）f′（x）=e^x-2x，
∴k=f′（0）=1，又f（0）=0，
切点坐标为（0，0），故所求切线方程为：y=x；
（2）证明：令φ（x）=f（x）+x²-x=e^x-x-1，
φ'（x）=e^x-1，由φ'（x）=0，得x=0，
当x∈（-∞，0）时，φ'（x）＜0，φ（x）单调递减；
当x∈（0，+∞）时，φ'（x）＞0，φ（x）单调递增．
∴φ（x）_min=φ（0）=0，从而f（x）≥-x²+x．

点评 本题考查了切线方程问题，考查函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，是一道中档题．