Question

3．定义在R上的函数f（x）满足f（x+6）=f（x），当-3≤x＜-1时，f（x）=-（x+2）²；当-1≤x＜3时，f（x）=x，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2017）=（　　）

• A． 337
• B． 338
• C． 1678
• D． 2012

Answer 1

分析 由f（x+6）=f（x）可知，f（x）是以6为周期的函数，可根据题目中解析式的信息分别求得f（1），f（2），f（3），f（4），f（5），f（6）的值，再利用周期性即可得答案．

解答 解：∵f（x+6）=f（x），
∴f（x）是以6为周期的函数，
又当-1≤x＜3时，f（x）=x，
∴f（1）+f（2）=1+2=3，f（-1）=-1=f（5），f（0）=0=f（6）；
当-3≤x＜-1时，f（x）=-（x+2）²，
∴f（3）=f（-3）=-（-3+2）²=-1，
f（4）=f（-2）=-（-2+2）²=0，
∴f（1）+f（2）+f（3）+f（4）+f（5）+f（6）=1+2-1+0+（-1）+0=1，
∴f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2016）+f（2017）
=[f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2016）]+f（2017）
=336×1+f（1）=336+1=337．
故选：A．

点评 本题考查函数的周期，由题意，求得f（1）+f（2）+f（3）+…+f（6）=1是关键，考查转化与运算能力，属于中档题．