Question

19．已知函数f（x）=x³+$\frac{5}{2}$x²+ax+b，g（x）=x³+$\frac{7}{2}$x²+lnx+b，（a，b为常数）
（1）若g（x）在x=1处切线过点（0，-5），求b的值
（2）令F（x）=f（x）-g（x），若函数F（x）存在极值，且所有极值之和大于5+ln2，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由求导公式和法则求g′（x），利用导数的几何意义求出切线的斜率，再由题意和点斜式方程求出切线方程，把x=1代入求出切点坐标，代入g（x）求出b的值；
（2）求函数F（x）以及定义域，求出F′（x），利用导数和极值之间的关系将条件转化：F′（x）=0在（0，+∞）上有根，即即2x²-ax+1=0在（0，+∞）上有根，根据二次方程根的分布问题列出方程组，根据条件列出关于a的不等式，求出a的范围．

解答 解：（1）由题意得，$g′（x）=3{x}^{2}+7x+\frac{1}{x}$，
∴g（x）在x=1处切线的斜率k=g′（1）=11，
∵在x=1处切线过点（0，-5），
∴g（x）在x=1处切线方程是：y+5=11x，即y=11x-5，
当x=1时，y=6，则切点的坐标是（1，6），
代入g（x）得，6=1+$\frac{7}{2}$+b，解得b=$\frac{3}{2}$；
（2）由条件得，F（x）=ax-x²-lnx，且x∈（0，+∞），
则F′（x）=a-2x-$\frac{1}{x}$=-$\frac{2{x}^{2}-ax+1}{x}$，
∵函数F（x）存在极值，∴F′（x）=0在（0，+∞）上有根，
即2x²-ax+1=0在（0，+∞）上有根，∴△=a²-8≥0，
显然当△=0时，F（x）无极值，不合题意；
所以方程必有两个不等正根．记方程2x²-ax+1=0的两根为x₁，x₂，
则$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}{x}_{2}=\frac{1}{2}＞0}\\{{x}_{1}+{x}_{2}=\frac{a}{2}}\end{array}\right.$，且F（x₁），F（x₂）是函数F（x）的两个极值，
由题意得，F（x₁）+F（x₂）=a（x₁+x₂）-${{（x}_{1}}^{2}+{{x}_{2}}^{2}）$-（lnx₁+lnx₂）
=$\frac{{a}^{2}}{2}-\frac{{a}^{2}}{4}+1-ln\frac{1}{2}$＞5-ln$\frac{1}{2}$，
化简解得，a²＞16，满足△＞0，
又${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{a}{2}＞0$，即a＞0，
∴所求a的取值范围是（4，+∞）．

点评 本题考查导数的几何意义，导数与函数的单调性、极值的关系，以及二次方程根的分布问题，考查转化思想，化简、变形能力，综合性大、难度大．