Question

15．设△ABC的三内角A、B、C所对应的边分别为a、b、c，函数f（x）=cosx+sin（x-$\frac{π}{6}$），且f（A）=1．
（Ⅰ）求A的大小；
（Ⅱ）若a=1，求$\frac{1}{b}$$+\frac{1}{c}$的最小值．

Answer 1

分析 （I）令两角和差的正弦公式可得函数f（x）=$sin（x+\frac{π}{6}）$，f（A）=$sin（A+\frac{π}{6}）$=1，且A∈（0，π），即可得出．
（II）由余弦定理：a²=b²+c²-2bccosA，再利用基本不等式即可得出．

解答 解：（I）函数f（x）=cosx+sin（x-$\frac{π}{6}$）
=cosx+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinx-$\frac{1}{2}cosx$
=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinx+$\frac{1}{2}cosx$=$sin（x+\frac{π}{6}）$，
∵f（A）=$sin（A+\frac{π}{6}）$=1，且A∈（0，π），
∴$A+\frac{π}{6}=\frac{π}{2}$，解得A=$\frac{π}{3}$．
（II）由余弦定理：a²=b²+c²-2bccosA，
∴1=${b}^{2}+{c}^{2}-2bc×\frac{1}{2}$=b²+c²-bc≥2bc-bc=bc，当且仅当b=c时取等号．
$\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$$≥2\sqrt{\frac{1}{bc}}$≥2，
∴$\frac{1}{b}$$+\frac{1}{c}$的最小值为2．

点评 本题考查了两角和差的正弦公式、余弦定理、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．