Question

【题目】已知定义在上的奇函数.

（Ⅰ） 求的值；

（Ⅱ） 若存在，使不等式有解，求实数的取值范围；

（Ⅲ）已知函数满足，且规定，若对任意，不等式恒成立，求实数的最大值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）6.

【解析】

（Ⅰ）定义在上的奇函数，所以利用特殊值求解，然后检验即可. （Ⅱ）首先根据定义证明函数在上单调递减，然后再根据单调性将等价转化为有解，即，求二次函数的最小值，即可解出实数的取值范围. （Ⅲ）首先根据，，解出，代入得到解析式，令，（），则，利用基本不等式求最值求出.

（Ⅰ）是上的奇函数，,

,

当时，,

此时是奇函数成立.

；

（Ⅱ）任取且，

，

,

上为减函数.

若存在，使不等式有解，则有解

，当时，， ,

（Ⅲ）,

,

,

，且也适合,

,

任意，不等式恒成立,

,

令，

令,

任取且，

，

当时，，上为增函数.

当时，，上为减函数.

时即,

,

,

,

，且,

，同理在上是增函数，在上是减函数.

时,的最大值为6.