Question

2．某企业有甲乙两个分厂生产某种产品，按规定该产品的某项质量指标值落在[45，75）的为优质品，从两个分厂生产的产品中个随机抽取500件，测量这些产品的该项质量指标值，结果如表：

分组	[25，35）	[35，45）	[4，55）	[55，65）	[65，75）	[75，85）	[85，95）
甲厂频数	10	40	115	165	120	45	5
乙厂频数	5	60	110	160	90	70	5

（1）根据以上统计数据完成下面2×2列联表，并回答是否有99%的把握认为：“两个分厂生产的产品的质量有差异”？
（2）求优质品率较高的分厂的500件产品质量指标值的样本平均数$\overline x$（同一组数据用该区间的中点值作代表）
（3）经计算，甲分厂的500件产品质量指标值的样本方差s²=142，乙分厂的500件差评质量指标值的样本方差s²=162，可认为优质品率较高的分厂的产品质量指标值X服从正态分布N（μ，σ²），其中μ近似为样本平均数$\overline x$，σ²近似为样本方差s²，由优质品率较高的厂的抽样数据，能够认为该分厂生产的产品的产品中，质量指标值不低于71.92的产品至少占全部产品的18%？
附注：
参考数据：$\sqrt{140}$≈11.92，$\sqrt{162}$≈12.73
参考公式：k²=$\frac{n（ad-bc）^{2}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$
P（μ-2σ＜x＜μ+2σ）=0.9544，P（μ-3σ＜x＜μ+3σ）=0.9974．

P（k2≥k）	0.05	0.01	0.001
h	3.841	6.635	10.828

Answer 1

分析 （1）根据统计数据填写2×2列联表，计算K²，对照临界值表得出结论；
（2）计算甲厂、乙厂优秀率，得出甲厂优秀品率高，计算甲厂的平均值；
（3）根据（2）知甲厂产品的质量指标值X～N（60，142），计算对应的概率值即可．

解答 解：（1）由以上统计数据填写2×2列联表，如下；

	甲　厂	乙　厂	合计
优质品	400	360	760
非优质品	100	140	240
合计	500	500	1000

计算K²=$\frac{1000{×（400×140-360×100）}^{2}}{760×240×500×500}$≈8.772＞6.635，
对照临界值表得出，有99%的把握认为：“两个分厂生产的产品的质量有差异”；
（2）计算甲厂优秀率为$\frac{400}{500}$=0.8，乙厂优秀率为$\frac{360}{500}$=0.72
所以甲厂的优秀品率高，
计算甲厂数据的平均值为：
$\overline{x}$=$\frac{1}{500}$×（30×10+40×40+50×115+60×165+70×120+80×45+90×5）
=60，
（3）根据（2）知，μ=60，σ²=142，且甲厂产品的质量指标值X服从正态分布X～N（60，142），
又σ=$\sqrt{142}$≈11.92，则P（60-11.92＜X＜60+11.92）=P（48.08＜X＜71.92）=0.6826，
P（X＞71.92）=$\frac{1-P（48.08＜X＜71.92）}{2}$=$\frac{1-0.6826}{2}$=0.1587＜0.18，
故不能够认为该分厂生产的产品的产品中，质量指标值不低于71.92的产品至少占全部产品的18%．

点评 本题主要考查了独立性检验与正态分布的特点及概率求解问题，也考查了推理与运算能力．