Question

10．已知，0＜β＜α＜$\frac{π}{4}$，cos（α-β）=$\frac{12}{13}$，且sin（α+β）=$\frac{4}{5}$，则sin2α的值为$\frac{63}{65}$．

Answer 1

分析 由0＜β＜α＜$\frac{π}{4}$，可得0＜α-β＜$\frac{π}{4}$，0＜α+β＜$\frac{π}{2}$，利用已知及同角三角函数基本关系式可求sin（α-β），cos（α+β）的值，根据sin2α=sin[（α-β）+（α+β）]由两角和的正弦函数公式即可求值．

解答 解：∵0＜β＜α＜$\frac{π}{4}$，cos（α-β）=$\frac{12}{13}$，sin（α+β）=$\frac{4}{5}$，
∴0＜α-β＜$\frac{π}{4}$，0＜α+β＜$\frac{π}{2}$，
∴sin（α-β）=$\sqrt{1-co{s}^{2}（α-β）}$=$\frac{5}{13}$，cos（α+β）=$\sqrt{1-si{n}^{2}（α+β）}$=$\frac{3}{5}$，
∴sin2α=sin[（α-β）+（α+β）]
=sin（α-β）cos（α+β）+cos（α-β）sin（α+β）
=$\frac{5}{13}$×$\frac{3}{5}$+$\frac{12}{13}$×$\frac{4}{5}$
=$\frac{63}{65}$．
故答案为：$\frac{63}{65}$．

点评 本题主要考查了同角三角函数基本关系式，两角和的正弦函数公式的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基本知识的考查．