Question

18．在正四面体ABCD中，E，F分别为棱AD，BC的中点，连接AF，CE，则异面直线AF与CE所成角的余弦值为（　　）

• A． $\frac{2}{3}$
• B． $\frac{1}{3}$
• C． $\frac{{\sqrt{2}}}{3}$
• D． $\frac{{\sqrt{3}}}{3}$

Answer 1

分析 画出立体图形，根据中点找平行线，把所求的异面直线角转化为一个三角形的内角来计算．

解答 解：由题意可得四面体A-BCD为正四面体，如图，连接BE，取BE的中点K，连接FK，则FK∥CE，
故∠AFK即为所求的异面直线角或者其补角．
设这个正四面体的棱长为2，在△AKF中，AF=$\sqrt{3}$=CE，KF=$\frac{1}{2}$CE=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，KE=$\frac{1}{2}$BE=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴AK=$\sqrt{A{E}^{2}+K{E}^{2}}$=$\sqrt{{1}^{2}+（\frac{\sqrt{3}}{2}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{7}}{2}$．
△AKF中，由余弦定理可得 cos∠AFK=$\frac{A{F}^{2}+F{K}^{2}-A{K}^{2}}{2AF•FK}$=$\frac{3+\frac{3}{4}-\frac{7}{4}}{2×\sqrt{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}}$=$\frac{2}{3}$．
故选：A．

点评 本题考查空间点、线、面的位置关系及学生的空间想象能力、求异面直线角的能力．在立体几何中找平行线是解决问题的一个重要技巧，这个技巧就是通过三角形的中位线找平行线，如果试题的已知中涉及到多个中点，则找中点是出现平行线的关键技巧，属于中档题．