Question

若函数的定义域为，且满足为 奇函数，为偶函数，则下列说法中一定正确的有        
（1）的图像关于直线对称
（2）的周期为 
（3）  
（4）在上只有一个零点

Answer 1

试题分析：因为，函数的定义域为，且满足为 奇函数，为偶函数，所以f(－x+1)=－f(x+1) .......(1)；f(x－1）=f(－x－1）.......(2)。
由(1) 得f(x+1)=－f(－x+1) ，故；
由(2) 得f(x－1）=f(－x－1），故的图像关于直线对称；（1）正确。由此可知，函数在要吗没零点，要吗不只一个零点；（4）不正确。
由①令－x+1=t得：f(t)=－f(2－t)…………③；②令－x－1=t得：f(t)= f(－2－t)………④；
由③、④得f(2－t)=－ f(－2－t）由此令－2－t=m得f(4+m) =－f(m)，
所以，f(8+m) =－f(m+4)= f(m)，函数f(x)的周期为8，（2）不正确。
所以，（3）正确。
综上知，答案为（1）（3）
点评：中档题，本题比较典型，综合考查了函数的奇偶性、周期性、对称性，有一定难度，需要灵活运用“代换的方法”，寻求所需条件、结论。