Question

2．某展览馆用同种规格的木条制作如图所示的展示框，其内框与外框均为矩形，并用木条相互连结，连结木条与所连框边均垂直．水平方向的连结木条长均为8cm，竖直方向的连结木条长均为4cm，内框矩形的面积为3200cm²．（不计木料的粗细与接头处损耗）
（1）如何设计外框的长与宽，才能使外框矩形面积最小？
（2）如何设计外框的长与宽，才能使制作整个展示框所用木条最少？

Answer 1

分析 （1）设展示框外框的长为xcm，宽为ycm，则内框长为（x-16）cm，宽为（y-8）cm，利用x，y表示面积，列出面积表达式，变形，利用基本不等式求其最小值；
（2）利用（1）得到木条的长度表达式，变形，结合基本不等式求最小值．

解答 解：（1）设展示框外框的长为xcm，宽为ycm，则内框长为（x-16）cm，宽为（y-8）cm，由题意x＞16，y＞8，因为内框的面积为3200cm²，所以（x-16）（y-8）=3200，所以$y=\frac{3200}{x-16}+8$，外框面积为S=xy=8x+$\frac{3200x}{x-16}$=3328+8（x-16）+$\frac{3200×16}{x-16}$，因为x＞16，所以x-16＞0，所以S≥3328+2$\sqrt{8（x-16）×\frac{3200×16}{x-16}}$=3328+1280=4608，当且仅当8（x-16）=$\frac{16×3200}{x-16}$即x=96时等号成立，
所以外框的长与宽分别是96cm，48cm时，才能使外框矩形面积最小；
（2）由（1）可知，所用木条的总长度为4（x+y）=4（x+8+$\frac{3200}{x-16}$）=4（x-16+$\frac{3200}{x-16}$+24）≥4（2$\sqrt{3200}$+24）=96+320$\sqrt{2}$，当且仅当x-16=$\frac{3200}{x-16}$即x=16+40$\sqrt{2}$，y=8+40$\sqrt{2}$时等号成立；
所以外框的长与宽分别是（16+40$\sqrt{2}$）cm，（8+40$\sqrt{2}$）cm时，才能使制作整个展示框所用木条最少

点评 本题考查了基本不等式在实践中的应用；关键是由题意列出面积和长度的不等式，凑出基本不等式的形式，利用基本不等式求最小值．