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如图,已知三棱柱的侧棱与底面垂直,且
,点分别为的中点.
(1)求证:平面
(2)求证:
(3)求二面角的余弦值.
(1)详见解析;(2)详见解析;(3).

试题分析:(1)连接,利用中位线得到,然后再利用直线与平面平行的判定定理证明平面;(2)证法一是建立以点为原点,以所在的直线为轴建立空间直角坐标系,利用空间向量法证明;证法二:先证明,于是得到,于是得到,再证明平面,从而得到,最后利用直线与平面垂直的判定定理证明平面,从而得到;证法三是,得到,于是得到,再证明平面,从而得到,最后利用直线与平面垂直的判定定理证明平面,从而得到;(3)解法一是建立以点为原点,以所在的直线为轴建立空间直角坐标系利用空间向量法求二面角的余弦值;解法二是过于点,过,连接,先利用平面,于是说明为二面角的平面角,然后在直角,然后在直角中求的值.
(1)证明:连接的中点 ,过点
的中点,
平面
(2)证法一:在直角中,
棱柱的侧棱与底面垂直,且,以点为原点,以所在的直线为轴建立如图所示空间直角坐标系如图示,则




证法二:连接,在直角中,




,且
平面,又,故平面
平面
证法三:连接,在直角中,

,即
,且平面,
,又,故平面
平面
(3)解法一:棱柱的侧棱与底面垂直,且
以点为原点,以所在的直线为轴建立如图所示空间直角坐标系,

依题意得
设面的一个法向量为
,得,令,得
同理可得面的一个法向量为
故二面角的平面角的余弦值为
解法二:过于点,过,连接

平面底面平面
平面
为二面角的平面角,
中,

,故.
练习册系列答案
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科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

已知四棱锥的底面为直角梯形,底面,且的中点.

(1)证明:面
(2)求所成的角的余弦值;
(3)求二面角的正弦值.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

如图所示,空间中有一直角三角形为直角,,现以其中一直角边为轴,按逆时针方向旋转后,将点所在的位置记为,再按逆时针方向继续旋转后,点所在的位置记为.
(1)连接,取的中点为,求证:面
(2)求与平面所成的角的正弦值.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

(2011•山东)如图,在四棱台ABCD﹣A1B1C1D1中,D1D⊥平面ABCD,底面ABCD是平行四边形,AB=2AD,AD=A1B1,∠BAD=60°.
(1)证明:AA1⊥BD;
(2)证明:CC1∥平面A1BD.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:单选题

下列四个命题中,正确命题的个数是(    )个
① 若平面平面,直线平面,则
② 若平面平面,且平面平面,则
③平面平面,且,点,若直线,则
④直线为异面直线,且平面平面,若,则.
A.B.C.D.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:单选题

[2012·安徽高考]设平面α与平面β相交于直线m,直线a在平面α内,直线b在平面β内,且b⊥m,则“α⊥β”是“a⊥b”的(  )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件

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科目:高中数学 来源:不详 题型:单选题

[2013·安徽高考]在下列命题中,不是公理的是(  )
A.平行于同一个平面的两个平面相互平行
B.过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面
C.如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上所有的点都在此平面内
D.如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线

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科目:高中数学 来源:不详 题型:单选题

(2013•浙江)在空间中,过点A作平面π的垂线,垂足为B,记B=fπ(A).设α,β是两个不同的平面,对空间任意一点P,Q1=fβ[fα(P)],Q2=fα[fβ(P)],恒有PQ1=PQ2,则(  )
A.平面α与平面β垂直
B.平面α与平面β所成的(锐)二面角为45°
C.平面α与平面β平行
D.平面α与平面β所成的(锐)二面角为60°

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科目:高中数学 来源:不详 题型:单选题

是两条不同的直线,是两个不同的平面。下列四个命题正确的是(   )
A.B.
C.D.

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