Question

13．己知抛物线y²=2px（p＞0）上两个动点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），O为坐标原点，OA⊥OB．
（1）求线段AB中点的轨迹方程；
（2）若在C上的点到直线x-2y+2$\sqrt{5}$-p=0的距离为d，求d的最小值．

Answer 1

分析 （1）设直线AB：x=my+n，代入抛物线方程，可得y²-2pmy-2pn=0，利用OA⊥OB，得到n=2p，再由根与系数的关系得到A、B两点的横纵坐标的和，由中点坐标公式可得线段AB中点的轨迹方程；
（2）设出与直线x-2y+2$\sqrt{5}$-p=0平行的直线方程，联立直线方程与抛物线方程，由判别式等于0得到所求抛物线的切线方程，再由两平行线间的距离公式得答案．

解答 解：（1）设直线AB：x=my+n．
代入抛物线方程，可得y²-2pmy-2pn=0，
∵OA⊥OB，∴x₁x₂+y₁y₂=$\frac{（{y}_{1}{y}_{2}）^{2}}{4{p}^{2}}$+y₁y₂=0，
∴y₁y₂=-4p²=-2pn，则n=2p，
又y₁+y₂=2pm，x₁+x₂=m（y₁+y₂）+2n=2pm²+4p．
设AB中点M（x，y），
则$\left\{\begin{array}{l}{x=p{m}^{2}+2p}\\{y=pm}\end{array}\right.$，消去m得：y²=px-2p²．
∴线段AB中点的轨迹方程为y²=px-2p²；
（2）设与直线x-2y+2$\sqrt{5}$-p=0平行的直线方程为x-2y+t=0．
联立$\left\{\begin{array}{l}{{y}^{2}=px-2{p}^{2}}\\{x-2y+t=0}\end{array}\right.$，得y²-2py+pt+2p²=0．
由△=4p²-4pt-8p²=0，解得：t=-p．
∴与直线x-2y+2$\sqrt{5}$-p=0平行的直线方程为x-2y-p=0．
则C上的点到直线x-2y+2$\sqrt{5}$-p=0的距离d的最小值为$\frac{|2\sqrt{5}-p+p|}{\sqrt{5}}=2$．

点评 本题考查轨迹方程的求法，考查直线与圆锥曲线位置关系的应用，训练了两平行线间的距离公式的应用，是中档题．