Question

4．已知函数f（x），若在定义域内存在x₀，使得f（-x₀）=-f（x₀）成立，则称x₀为函数f（x）的局部对称点．
（1）若a，b，c∈R，证明函数f（x）=ax³+bx²+cx-b必有局部对称点；
（2）是否存在常数m，使得定义在区间[-1，2]上的函数f（x）=4^x+2^x+m有局部对称点？若存在，求出m的范围，否则说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据定义构造方程，再判断方程是否有解，问题得以解决．
（2）根据定义构造方程4^x+4^-x+2^x+2^-x+2m=0…（*）在R上有解，再利用换元法，设t=2^x+2^-x，方程在区间[-1，2]内有解，再根据二次函数的最值求出m的范围即可．

解答 解：（1）证明：由f（x）=ax³+bx²+cx-b得f（-x）=-ax³+bx²-cx-b，
代入f（-x）=-f（x） 得ax³+bx²+cx-b-ax³+bx²-cx-b=0得到关于x的方程2bx²-2b=0，b≠0时，x=±1
当b=0，x∈R等式恒成立，
所以函数f（x）=ax³+bx²+cx-b必有局部对称点；
（2）∵f（x）=4^x+2^x+m
当f（-x）=4^-x+2^-x+m时，f（-x）=-f（x）可化为4^x+4^-x+2^x+2^-x+2m=0，
因为f（x）的定义域为[-1，2]，所以方程4^x+4^-x+2^x+2^-x+2m=0在[-1，2]上有解．
令t=2^x+2^-x∈[$\frac{5}{2}$，$\frac{17}{4}$]，则2-2m=t²+t．t∈$[\frac{5}{2}，\frac{17}{4}]$，
$\frac{9}{4}$-2m=t²+t+$\frac{1}{4}$=（t+$\frac{1}{2}$）²∈$[9，\frac{361}{16}]$，
解得m∈$[-\frac{325}{32}，-\frac{27}{8}]$．

点评 本题依据新定义，考查了方程的解得问题以及参数的取值范围，以及换元的思想，转化思想，属于难题．