Question

已知函数f（x）=sinx•cos(x-

π

6

)+cos2x-

1

2

．
（1）求函数f（x）的单调递增区间和对称中心．
（2）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f（A）=

1

2

，b+c=3，求a的最小值．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,余弦定理

专题：三角函数的求值,三角函数的图像与性质,解三角形

分析：（1）首先通过三角函数的恒等变换把函数关系式变形成正弦型函数，进一步利用整体思想求出函数的单调区间和对称中心
（2）利用（1）的结论进一步计算出A的值，在利用余弦定理和基本不等式解出a的最小值．

解答： 解：（1）f（x）=sinx•cos(x-

π

6

)+cos2x-

1

2

=sinx（

3

2

cosx+

1

2

sinx）+cos²x-

1

2

=

3

4

sin2x+

1+cos2x

4

=

1

2

sin(2x+

π

6

)+

1

4

令：-

π

2

+2kπ≤2x+

π

6

≤

π

2

+2kπ（k∈Z）
解得：kπ-

π

3

≤x≤kπ+

π

6

即函数的单调递增区间为：[kπ-

π

3

，kπ+

π

6

]（k∈Z）
令：2x+

π

6

=kπ
解得：x=

kπ

2

-

π

12

（k∈Z）
即函数的对称中心为：(

kπ

2

-

π

12

，

1

4

)（k∈Z）
（2）利用函数f（x）=

1

2

sin(2x+

π

6

)+

1

4

则：f（A）=

1

2

sin(2A+

π

6

)+

1

4

=

1

2

则：sin(2A+

π

6

)=

1

2

由于：0＜A＜π
解得：A=

π

3

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，b+c=3，
所以利用余弦定理得：
a²=b²+c²-2bccosA
=b²+c²-bc
=（b+c）²-3bc
因为：bc≤(

b+c

2

)2
则：(b+c)2-3bc≥(b+c)2-3(

b+c

2

)2=

9

4

进一步求得：a2≥

9

4

则：a≥

3

2

或a≤-

3

2

（舍去）
即：amin=

3

2

点评：本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，利用整体思想求正弦型函数的单调区间，及函数的对称中心，及利用余弦定理和基本不等式解三角形知识．属于基础题型．