在直角坐标系xOy中.以原点O为极点.x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．若曲线C的极坐标方程为ρsin2θ+4sinθ-ρ=0.直线l:$\left\{\begin{array}{l}{x=2+tcosα}\\{y=3+tsinα}\end{array}\right.$过曲线C的焦点.且与曲线C交于M.N两点．(1)写出曲线C及直线l直角坐标方程,(2)求|MN|� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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14．在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．若曲线C的极坐标方程为ρsin²θ+4sinθ-ρ=0，直线l：$\left\{\begin{array}{l}{x=2+tcosα}\\{y=3+tsinα}\end{array}\right.$（t为参数）过曲线C的焦点，且与曲线C交于M，N两点．
（1）写出曲线C及直线l直角坐标方程；
（2）求|MN|．

分析（1）曲线C的极坐标方程为ρsin²θ+4sinθ-ρ=0，可得ρ²sin²θ+4ρsinθ-ρ²=0，利用互化公式可得直角坐标方程．由直线l的参数方程，消去参数t可得普通方程，把抛物线焦点（0，1）代入即可得出．
（2）直线方程与抛物线方程联立化为：x²-4x-4=0，利用根与系数的关系及其|MN|=$\sqrt{2[（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}]}$即可得出．

解答解：（1）曲线C的极坐标方程为ρsin²θ+4sinθ-ρ=0，
可得ρ²sin²θ+4ρsinθ-ρ²=0，可得直角坐标方程：y²+4y-（x²+y²）=0，即x²=4y．
直线l：$\left\{\begin{array}{l}{x=2+tcosα}\\{y=3+tsinα}\end{array}\right.$（t为参数）消去参数t可得普通方程：y-3=（x-2）tanα．
由题意可知：直线经过点（0，1），∴-2=-2tanα，可得tanα=1．
∴直线l的方程为：y-3=x-2，化为y=x+1．
（2）联立$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}=4y}\\{y=x+1}\end{array}\right.$，化为：x²-4x-4=0，
∴|MN|=$\sqrt{2[（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}]}$=$\sqrt{2×[{4}^{2}-4×（-4）]}$=8．

点评本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程的方法、参数方程及其应用、弦长公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

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