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已知△的两个顶点的坐标分别是,且所在直线的斜率之积等于
(1)求顶点的轨迹的方程,并判断轨迹为何种圆锥曲线;
(2)当时,过点的直线交曲线两点,设点关于轴的对称点为(不重合), 试问:直线轴的交点是否是定点?若是,求出定点,若不是,请说明理由.

(1)详见解析;(2).

解析试题分析:(1)设出顶点C的坐标,由AC,BC所在直线的斜率之积等于m(m≠0)列式整理得到顶点C的轨迹E的方程,然后分m的不同取值范围判断轨迹E为何种圆锥曲线;
(2)把代入E得轨迹方程,由题意设出直线l的方程,和椭圆方程联立后利用根与系数关系求出M,N两点的横坐标的和与积,由两点式写出直线MQ的方程,取y=0后求出x,结合根与系数关系可求得x=2,则得到直线MQ与x轴的交点是定点,并求出定点..
试题解析:(1)由题知:
化简得:                    2分
时 轨迹表示焦点在轴上的椭圆,且除去两点;
时 轨迹表示以为圆心半径是1的圆,且除去两点;
时 轨迹表示焦点在轴上的椭圆,且除去两点;
时  轨迹表示焦点在轴上的双曲线,且除去两点;6分
(2)设 
依题直线的斜率存在且不为零,则可设:
代入整理得
,                  9分
又因为不重合,则
的方程为 令

故直线过定点.                         14分
解二:设
依题直线的斜率存在且不为零,可设:
代入整理得:
,,               9分
的方程为  令

直线过定点                14分
考点:1.椭圆的简单性质;2.与直线有关的动点轨迹方程.

练习册系列答案
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题

在直角坐标系xOy中,中心在原点O,焦点在x轴上的椭圆C上的点(2,1)到两焦点的距离之和为4.
(1)求椭圆C的方程;
(2)过椭圆C的右焦点F作直线l与椭圆C分别交于AB两点,其中点Ax轴下方,且=3.求过OAB三点的圆的方程.

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己知椭圆C:(a>b>0)的右焦点为F(1,0),点A(2,0)在椭圆C上,斜率为1的直线与椭圆C交于不同两点M,N.
(1)求椭圆C的方程;
(2)设直线过点F(1,0),求线段的长;
(3)若直线过点(m,0),且以为直径的圆恰过原点,求直线的方程.

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A(x1y1),B(x2y2)是椭圆C=1(a>b>0)上两点,已知mn,若m·n=0且椭圆的离心率e,短轴长为2,O为坐标原点.
(1)求椭圆的方程;
(2)试问△AOB的面积是否为定值?如果是,请给予证明;如果不是,请说明理由.

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已知椭圆的右焦点为F2(1,0),点 在椭圆上.

(1)求椭圆方程;
(2)点在圆上,M在第一象限,过M作圆的切线交椭圆于P、Q两点,问|F2P|+|F2Q|+|PQ|是否为定值?如果是,求出定值,如不是,说明理由.

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已知椭圆C=1(ab>0)的离心率为,其左、右焦点分别是F1F2,过点F1的直线l交椭圆CEG两点,且△EGF2的周长为4.
(1)求椭圆C的方程;
(2)若过点M(2,0)的直线与椭圆C相交于两点AB,设P为椭圆上一点,且满足t (O为坐标原点),当||<时,求实数t的取值范围.

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已知抛物线,点,过的直线交抛物线两点.
(1)若,抛物线的焦点与中点的连线垂直于轴,求直线的方程;
(2)设为小于零的常数,点关于轴的对称点为,求证:直线过定点

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科目:高中数学 来源: 题型:解答题

抛物线在点处的切线垂直相交于点,直线与椭圆相交于两点.

(1)求抛物线的焦点与椭圆的左焦点的距离;
(2)设点到直线的距离为,试问:是否存在直线,使得成等比数列?若存在,求直线的方程;若不存在,请说明理由.

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科目:高中数学 来源: 题型:解答题

如图,已知椭圆E的中心是原点O,其右焦点为F(2,0),过x轴上一点A(3,0)作直线与椭圆E相交于P,Q两点,且的最大值为.

(Ⅰ)求椭圆E的方程;
(Ⅱ)设,过点P且平行于y轴的直线与椭圆E相交于另一点M,试问M,F,Q是否共线,若共线请证明;反之说明理由.

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