Question

20．已知点A、B的坐标分别为（2，0）、（-2，0），直线AT、BT交于点T，且它们的斜率之积为常数-λ（λ＞0，λ≠1），点T的轨迹以及A、B两点构成曲线C．
（1）求曲线C的方程，并求其焦点坐标；
（2）若0＜λ＜1，且曲线C上的点到其焦点的最近距离为1．设直线l：y=k（x-1）交曲线C于E、F两点，交x轴于Q点．直线AE、AF分别交直线x=3于点N、M．记线段MN的中点为P，直线PQ的斜率为k′．求证：k•k′为定值．

Answer 1

分析 （1）设T（x，y），则$\frac{y}{x+2}•\frac{y}{x-2}=-λ$，由此能求出曲线C的方程及其焦点坐标．
（2）椭圆长轴端点到同侧焦点的距离是椭圆上的点到焦点的最近距离，从而2-2$\sqrt{1-λ}$=1，进而求出曲线C的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$．直线y=k（x-1）交x轴于Q（1，0），联立$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-1）}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，得（4k²+3）x²-8k²x+4k²-12=0，由此利用韦达定理、直线方程，结合已知条件能证明k•k′为定值．

解答 解：（1）设T（x，y），则$\frac{y}{x+2}•\frac{y}{x-2}=-λ$，
整理，得：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{4λ}=1$（x≠±2），
又A（2，0）、B（-2，0）也符合上式，
∴曲线C：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{4λ}$=1，（λ＞0，λ≠1），
当0＜λ＜1时，曲线C是焦点在x轴上的椭圆，焦点为（-2$\sqrt{1-λ}$，0），（2$\sqrt{1-λ}$，0），
当λ＞1时，曲线C是焦点在y轴上的椭圆，焦点为（0，-2$\sqrt{λ-1}$），（0，$2\sqrt{λ-1}$）．
（2）∵0＜λ＜1，曲线C是焦点在y轴上的椭圆，其焦点为（-2$\sqrt{1-λ}$，0），（2$\sqrt{1-λ}$，0），
椭圆长轴端点到同侧焦点的距离是椭圆上的点到焦点的最近距离，
曲线C上的点到其焦点的最近距离为1．
∴2-2$\sqrt{1-λ}$=1，解得$λ=\frac{3}{4}$，
∴曲线C的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$．
直线y=k（x-1）交x轴于Q（1，0），
设E（x₁，y₁），F（x₂，y₂），
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-1）}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，得（4k²+3）x²-8k²x+4k²-12=0，
∴${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{8{k}^{2}}{4{k}^{2}+3}$，x₁x₂=$\frac{4{k}^{2}-12}{4{k}^{2}+3}$，①
直线AE方程为y=$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}-2}（x-2）$，交直线x=3于点N（3，$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}-2}$），
直线AF方程为y=$\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}-2}（x-2）$，交直线x=3于点M（3，$\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}-2}$），
∴线段MN的中点P（3，$\frac{1}{2}（\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}-2}+\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}-2}）$），
∴直线PQ的斜率为：
k′=$\frac{\frac{1}{2}（\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}-2}+\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}-2}）}{3-1}$=$\frac{{y}_{1}{x}_{2}+{y}_{2}{x}_{1}-2（{y}_{1}+{y}_{2}）}{4[{x}_{1}{x}_{2}-2（{x}_{1}+{x}_{2}）+4]}$=$\frac{2k{x}_{1}{x}_{2}-3k（{x}_{1}+{x}_{2}）+4k}{4[{x}_{1}{x}_{2}-2（{x}_{1}+{x}_{2}）+41]}$，②
将①代入②，整理，得${k}^{'}=-\frac{3}{4k}$，
∴kk′=-$\frac{3}{4}$，
∴k•k′为定值-$\frac{3}{4}$．

点评 本题考查曲线方程及焦点坐标的求法，考查两直线的斜率之积为定值的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意椭圆性质、韦达定理、直线方程的性质的合理运用．