Question

10．在△ABC中，b是a与3c的等比中项，且C-A=$\frac{π}{2}$，则B=$\frac{π}{3}$．

Answer 1

分析 由C-A=$\frac{π}{2}$，可得$C=A+\frac{π}{2}$，A=π-（C+B），化为2A=$\frac{π}{2}$-B，sinC=sin$（A+\frac{π}{2}）$=cosA．由b是a与3c的等比中项，可得b²=3ac，利用正弦定理可得：sin²B=3sinAsinC，代入化简可得1-cos²B=$\frac{3}{2}cosB$，解出即可．

解答 解：∵C-A=$\frac{π}{2}$，
∴$C=A+\frac{π}{2}$，
A=π-（C+B）
=$π-（A+\frac{π}{2}+B）$，
化为2A=$\frac{π}{2}$-B，
∴sinC=sin$（A+\frac{π}{2}）$=cosA
∵b是a与3c的等比中项，
∴b²=3ac，
∴sin²B=3sinAsinC，
∴sin²B=3sinAcosA=$\frac{3}{2}sin2A$=$\frac{3}{2}sin（\frac{π}{2}-B）$=$\frac{3}{2}cosB$，
∴1-cos²B=$\frac{3}{2}cosB$，
化为2cos²B+3cosB-2=0，
解得cosB=$\frac{1}{2}$，cosB=-2（舍去）．
∵B∈（0，π），
∴B=$\frac{π}{3}$．

点评 本题了考查了等比数列的性质、正弦定理、同角三角函数基本关系式、三角形内角和定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．