Question

已知向量

a

=（1+cosωx，1），

b

=（1，a+

3

sinωx）（ω为常数且ω＞0），函数f（x）=

a

•

b

在R上的最大值为2．
（1）求实数a的值；
（2）把函数y=f（x）的图象向右平移

π

6ω

个单位，可得函数y=g（x）的图象，若y=g（x）在[0，

π

4

]上为增函数，求ω的最大值．

Answer 1

分析：（1）把向量

a

=（1+cosωx，1），

b

=（1，a+

3

sinωx）（ω为常数且ω＞0），代入函数f（x）=

a

•

b

整理，利用两角和的正弦函数化为2sin（ωx+

π

6

）+a+1，根据最值求实数a的值；
（2）由题意把函数y=f（x）的图象向右平移

π

6ω

个单位，可得函数y=g（x）的图象，利用y=g（x）在[0，

π

4

]上为增函数，就是周期≥π，然后求ω的最大值．

解答：解：（1）f（x）=1+cosωx+a+

3

sinωx=2sin（ωx+

π

6

）+a+1．
因为函数f（x）在R上的最大值为2，
所以3+a=2，故a=-1．
（2）由（1）知：f（x）=2sin（ωx+

π

6

），
把函数f（x）=2sin（ωx+

π

6

）的图象向右平移

π

6ω

个单位，可得函数
y=g（x）=2sinωx．
又∵y=g（x）在[0，

π

4

]上为增函数，
∴g（x）的周期T=

2π

ω

≥π，即ω≤2，
∴ω的最大值为2．

点评：本题是基础题，以向量的数量积为载体，三角函数的化简求值为主线，三角函数的性质为考查目的一道综合题，考查学生分析问题解决问题的能力．