Question

15．在极坐标系中，曲线C：ρ=$\frac{2}{cosθ+2sinθ}$，A，B是曲线C上的两点，O为极点，∠AOB=$\frac{π}{2}$，则△AOB面积的最小值为$\frac{4}{5}$．

Answer 1

分析 曲线C：ρ=$\frac{2}{cosθ+2sinθ}$，不妨设A（ρ₁，θ），B$（{ρ}_{2}，θ+\frac{π}{2}）$，代入化简利用直角三角形面积计算公式即可得出．

解答 解：曲线C：ρ=$\frac{2}{cosθ+2sinθ}$，
不妨设A（ρ₁，θ），B$（{ρ}_{2}，θ+\frac{π}{2}）$，
则ρ₁=$\frac{2}{cosθ+2sinθ}$，ρ₂=$\frac{2}{cos（θ+\frac{π}{2}）+2sin（θ+\frac{π}{2}）}$=$\frac{2}{2cosθ-sinθ}$，
∴S_△AOB=$\frac{1}{2}×$|ρ₁ρ₂|=$\frac{2}{|2co{s}^{2}θ-2si{n}^{2}θ+3sinθcosθ|}$=$\frac{2}{|2cos2θ+\frac{3}{2}sin2θ|}$=$\frac{4}{|5sin（2θ+φ）|}$$≤\frac{4}{5}$，当且仅当sin（2θ+φ）=±1时取等号．
∴△AOB面积的最小值为$\frac{4}{5}$．
故答案为：$\frac{4}{5}$．

点评 本题考查了极坐标方程的应用、三角函数求值、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．