Question

12．已知（$\sqrt{x}$+$\frac{2}{\root{3}{x}}$）ⁿ的展开式的前三项系数的和为129，试问这个展开式中是否存在常数项？有理项？如没有，说明理由；若有，求出这些项．

Answer 1

分析 利用二项展开式的通项公式求出通项，求出前三项系数，列出方程求出n，令x的指数为求常数项和有理项．

解答 解：展开式的通项为C_n^k${x}^{\frac{n-k}{2}}$•2^k•${x-}^{\frac{k}{3}}$=C_n^k•2^k•${x}^{\frac{3n-5k}{6}}$，
∴展开式前3项的系数为1，C_n¹2=2n，4C_n²
∴1+2n+4C_n²=129，
解得n=8，
令$\frac{24-5k}{6}$=0，
即5k=24无整数解，
故无常数项，
当k=0时，$\frac{24-5k}{6}$=4，
C₈⁰•2⁰•x⁴=x⁴，
当k=6时，$\frac{24-5k}{6}$=-1，
C₈⁶•2⁶•x^-1=$\frac{1792}{x}$，
故有理项为x⁴，$\frac{1792}{x}$．

点评 本题考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题．