Question

17．已知非零向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$满足|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|=|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|，则$\frac{|\overrightarrow{a}|+|\overrightarrow{b}|}{|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|}$的取值范围是（　　）

• A． （0，1）
• B． （1，2）
• C． （1，+∞）
• D． （1，$\sqrt{2}$]

Answer 1

分析 方法1．由于非零向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$满足|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|=|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|，则由平行四边形法则可得，$\overrightarrow{a}⊥\overrightarrow{b}$，令|$\overrightarrow{a}$|=m，|$\overrightarrow{b}$|=n，则|$\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{{m}^{2}+{n}^{2}}$，则$\frac{|\overrightarrow{a}|+|\overrightarrow{b}|}{|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|}$=$\sqrt{1+\frac{2mn}{{m}^{2}+{n}^{2}}}$＞1，再由基本不等式即可得到最大值，进而得到所求范围．
方法2．利用坐标法，转化为函数问题进行求解．

解答 解：由于非零向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$满足|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|=|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|，
则由平行四边形法则可得，$\overrightarrow{a}⊥\overrightarrow{b}$，
令|$\overrightarrow{a}$|=m，|$\overrightarrow{b}$|=n，则|$\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{{m}^{2}+{n}^{2}}$，
则$\frac{|\overrightarrow{a}|+|\overrightarrow{b}|}{|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|}$=$\frac{m+n}{\sqrt{{m}^{2}+{n}^{2}}}$=$\sqrt{\frac{{m}^{2}+{n}^{2}+2mn}{{m}^{2}+{n}^{2}}}$
=$\sqrt{1+\frac{2mn}{{m}^{2}+{n}^{2}}}$＞1，
又m²+n²≥2mn，则$\sqrt{1+\frac{2mn}{{m}^{2}+{n}^{2}}}$≤$\sqrt{1+\frac{{m}^{2}+{n}^{2}}{{m}^{2}+{n}^{2}}}$=$\sqrt{2}$．
则所求的取值范围是（1，$\sqrt{2}$]．
方法二 由于非零向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$满足|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|=|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|，
则由平行四边形法则可得，$\overrightarrow{a}⊥\overrightarrow{b}$，
不妨设$\overrightarrow{a}$=（x，0），$\overrightarrow{b}$=（0，y），（x＞0，y＞0），
则$\frac{|\overrightarrow{a}|+|\overrightarrow{b}|}{|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|}$=$\frac{x+y}{\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}}$=$\sqrt{\frac{（x+y）^{2}}{{x}^{2}+{y}^{2}}}$=$\sqrt{\frac{{x}^{2}+{y}^{2}+2xy}{{x}^{2}+{y}^{2}}}$=$\sqrt{1+\frac{2xy}{{x}^{2}+{y}^{2}}}$≤$\sqrt{1+\frac{2xy}{2xy}}$=$\sqrt{2}$，
∵$\sqrt{1+\frac{2xy}{{x}^{2}+{y}^{2}}}$＞1，
∴1＜$\sqrt{1+\frac{2xy}{{x}^{2}+{y}^{2}}}$≤$\sqrt{2}$，
故选：D．

点评 本题考查平面向量的运用，考查向量的运算的几何意义，考查运用基本不等式求最值，考查运算能力，属于中档题和易错题．