Question

7．已知f（x）=$\frac{xlnx+ax}{e^x}$（e是自然对数的底数，a是大于1的常数），设m＞1，则下列正确的是（　　）

• A． $\frac{4mf（m+1）}{m+1}$＞2$\sqrt{m}$f（2$\sqrt{m}$）＞（m+1）f（$\frac{4m}{m+1}$）
• B． $\frac{4mf（m+1）}{m+1}$＜2$\sqrt{m}$f（2$\sqrt{m}$）＜（m+1）f（$\frac{4m}{m+1}$）
• C． 2$\sqrt{m}$f（2$\sqrt{m}$）＞$\frac{4mf（m+1）}{m+1}$＞（m+1）f（$\frac{4m}{m+1}$）
• D． 2$\sqrt{m}$f（2$\sqrt{m}$）＜$\frac{4mf（m+1）}{m+1}$＜（m+1）f（$\frac{4m}{m+1}$）

Answer 1

分析 构造函数g（x）=$\frac{f（x）}{x}$，利用函数的单调性，判断即可．

解答 解：设函数$g（x）=\frac{f（x）}{x}$，$g'（x）=\frac{1-ax-xlnx}{{x{e^2}}}$
则g（x）在（1，+∞）上单调递减．
由于m＞1，由基本不等式可得$m+1＞2\sqrt{m}＞\frac{4m}{m+1}＞1$，
那么$g（m+1）＜g（2\sqrt{m}）＜g（\frac{4m}{m+1}）$，
即$\frac{f（m+1）}{m+1}＜\frac{{f（2\sqrt{m}）}}{{2\sqrt{m}}}＜\frac{m+1}{4m}f（\frac{4m}{m+1}）$，
不等式各项同乘以4m，
即$\frac{4mf（m+1）}{m+1}$＜2$\sqrt{m}$f（2$\sqrt{m}$）＜（m+1）f（$\frac{4m}{m+1}$）
故选B．

点评 本题主要考查函数的单调性，属于中等题．