Question

15．已知函数f（x）=ln（a+x）在点（0，f（0））处的切线斜率为1．
（1）求实数a的值；
（2）证明：f（x）≤x；
（3）证明：f（$\frac{1}{{1}^{2}}$）+f（$\frac{1}{{2}^{2}}$）+f（$\frac{1}{{3}^{2}}$）+…+f（$\frac{1}{{n}^{2}}$）＜2．

Answer 1

分析 （1）求得f（x）的导数，求得切线的斜率，即可求得a=1；
（2）设g（x）=f（x）-x=ln（1+x）-x，求出导数，以及单调区间，可得极大值也为最大值，即可得证；
（3）由前面的结论可得f（$\frac{1}{{n}^{2}}$）=ln（1+$\frac{1}{{n}^{2}}$）＜$\frac{1}{{n}^{2}}$，当n≥2时，可得$\frac{1}{{n}^{2}}$＜$\frac{1}{n（n-1）}$=$\frac{1}{n-1}$-$\frac{1}{n}$，运用裂项相消求和和不等式的性质，即可得证．

解答 解：（1）f（x）=ln（a+x）的导数为f′（x）=$\frac{1}{a+x}$，
可得在点（0，f（0））处的切线斜率为$\frac{1}{a}$=1，即有a=1；
（2）证明：设g（x）=f（x）-x=ln（1+x）-x，
g′（x）=$\frac{1}{1+x}$-1=$\frac{-x}{1+x}$，
当x＞0时，g′（x）＜0，g（x）递减；
当-1＜x＜0时，g′（x）＞0，g（x）递增．
即有x=0处取得极大值，且为最大值0，
则g（x）≤0，即为f（x）≤x；
（3）证明：由（1）可得f（$\frac{1}{{n}^{2}}$）=ln（1+$\frac{1}{{n}^{2}}$），
由（2）可得ln（1+$\frac{1}{{n}^{2}}$）＜$\frac{1}{{n}^{2}}$，
当n≥2时，可得$\frac{1}{{n}^{2}}$＜$\frac{1}{n（n-1）}$=$\frac{1}{n-1}$-$\frac{1}{n}$，
即有f（$\frac{1}{{1}^{2}}$）+f（$\frac{1}{{2}^{2}}$）+f（$\frac{1}{{3}^{2}}$）+…+f（$\frac{1}{{n}^{2}}$）
＜1+（1-$\frac{1}{2}$）+（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$）+…+（$\frac{1}{n-1}$-$\frac{1}{n}$）=2-$\frac{1}{n}$＜2．
则原不等式成立．

点评 本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调区间、极值和最值，考查不等式的证明，注意运用构造函数法和不等式的性质、裂项相消求和和放缩法，考查化简整理的运算能力，属于中档题．