Question

20．已知A，B是圆C：x²+y²=1上两点，且$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$=-1，点P是直线x-y-2=0上一点，则$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}$的最小值是（　　）

• A． 3
• B． 2
• C． 1
• D． 0

Answer 1

分析 先求出A、B两点在圆的直径上，再利用数形结合法得出$\overrightarrow{PA}$、$\overrightarrow{PB}$共线同向且过圆心时$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}$的值最小，由此求出最小值．

解答 解：设A（cosα，sinα），B（cosβ，sinβ），
∵$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$=-1，
∴cosαcosβ+sinαsinβ=cos（α-β）=-1，
∴α-β=π+2kπ，k∈Z；
令k=0，得α=β+π；

又点P是直线x-y-2=0上一点，
∴当$\overrightarrow{PA}$、$\overrightarrow{PB}$共线同向且过圆心时，$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}$的值最小，如图所示；
又|OP|=$\frac{|-2|}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}$，
∴$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}$的最小值是（$\sqrt{2}$-1）（$\sqrt{2}$+1）=1．
故选：C．

点评 本题考查了直线与圆的应用问题，也考查了平面向量数量积的应用问题，是综合性题目．