Question

20．已知-$\frac{π}{2}$＜α＜β＜0，sin（$\frac{α}{2}$-β）=-$\frac{4\sqrt{3}}{7}$，cos（α-$\frac{β}{2}$）=$\frac{13}{14}$，则α+β=（　　）

• A． -$\frac{5π}{6}$
• B． -$\frac{2π}{3}$
• C． -$\frac{π}{3}$
• D． $\frac{2π}{3}$

Answer 1

分析 根据α、β的取值范围，结合同角的三角函数基本关系以及二倍角的正弦、余弦公式，即可求出答案．

解答 解：∵-$\frac{π}{2}$＜α＜β＜0，
∴-$\frac{π}{2}$＜$\frac{α}{2}$-β＜0，-$\frac{π}{2}$＜α-$\frac{β}{2}$＜0；
又∵sin（$\frac{α}{2}$-β）=-$\frac{4\sqrt{3}}{7}$，∴cos（$\frac{α}{2}$-β）=$\frac{1}{7}$，
cos（α-$\frac{β}{2}$）=$\frac{13}{14}$，∴sin（α-$\frac{β}{2}$）=-$\frac{3\sqrt{3}}{14}$；
∴cos$\frac{α+β}{2}$=cos[（α-$\frac{β}{2}$）-（$\frac{α}{2}$-β）]
=cos（α-$\frac{β}{2}$）cos（$\frac{α}{2}$-β）+sin（α-$\frac{β}{2}$）sin（$\frac{α}{2}$-β）
=$\frac{13}{14}$×$\frac{1}{7}$+（-$\frac{3\sqrt{3}}{14}$）×（-$\frac{4\sqrt{3}}{7}$）
=$\frac{1}{2}$；
∴cos（α+β）=2cos²$\frac{α+β}{2}$-1=2×${（\frac{1}{2}）}^{2}$-1=-$\frac{1}{2}$，
又-π＜α+β＜0，
∴α+β=-$\frac{2π}{3}$．
故选：B．

点评 本题考查了同角的三角函数基本关系以及二倍角的正弦、余弦公式的应用问题，是基础题目．