Question

19．若m＞0，曲线f（x）=2mx+$\frac{1}{2}$x²与曲线g（x）=n+3m²lnx在交点处有相同的切线，则n的最大值为$\frac{3}{2}$e${\;}^{\frac{2}{3}}$．

Answer 1

分析 设出两曲线的公共点坐标，分别求出f（x）和g（x）的导函数，把设出点的坐标代入两导函数中得到两关系式，联立两关系式即可解出公共点的横坐标，把求出的横坐标代入得到用m表示出n的式子，设h（t）等于表示出的式子，求出h（t）的导函数，令导函数大于0求出t的范围即为函数的增区间，令导函数小于0求出t的范围即为函数的减区间，根据函数的增减性即可求出h（t）的最大值即为n的最大值．

解答 解：设y=f（x）与y=g（x）（x＞0）在公共点（x₀，y₀）处的切线相同．
f（x）=2mx+$\frac{1}{2}$x²的导数为f'（x）=x+2m，
g（x）=n+3m²lnx的导数为g′（x）=$\frac{3{m}^{2}}{x}$，
由题意f（x₀）=g（x₀），f'（x₀）=g'（x₀）．
即2mx₀+$\frac{1}{2}$x₀²=3m²lnx₀+n，x₀+2m=$\frac{3{m}^{2}}{{x}_{0}}$，
由x₀+2m=$\frac{3{m}^{2}}{{x}_{0}}$，解得x₀=m，或x₀=-3m（舍去）．
即有n=$\frac{1}{2}$m²+2m²-3m²lnm=$\frac{5}{2}$m²-3m²lnm，
令h（t）=$\frac{5}{2}$t²-3t²lnt（t＞0），则h'（t）=2t（1-3lnt）．
于是当t（1-3lnt）＞0，即0＜t＜e${\;}^{\frac{1}{3}}$时，h'（t）＞0；
当t（1-3lnt）＜0，即t＞e${\;}^{\frac{1}{3}}$时，h'（t）＜0．
故h（t）在（0，e${\;}^{\frac{1}{3}}$）为增函数，在（e${\;}^{\frac{1}{3}}$，+∞）为减函数，
于是h（t）在（0，+∞）的最大值为h（e${\;}^{\frac{1}{3}}$）=$\frac{5}{2}$e${\;}^{\frac{2}{3}}$-e${\;}^{\frac{2}{3}}$=$\frac{3}{2}$e${\;}^{\frac{2}{3}}$．
则n的最大值为$\frac{3}{2}$e${\;}^{\frac{2}{3}}$．
故答案为：$\frac{3}{2}$e${\;}^{\frac{2}{3}}$．

点评 本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调区间、极值和最值，考查转化思想的运用和构造函数法，考查化简整理的运算能力，属于中档题．