Question

2．给出如下定义：对函数y=f（x），x∈D．若存在实常数C，对任意的x₁∈D，存在唯一的x₂∈D，使得$\frac{f（{x}_{1}）+f（{x}_{2}）}{2}$=C成立，则称函数y=f（x）为“和谐函数”，常数C为函数y=f（x）的“和谐数”，若函数g（x）=lnx，x∈[e²，e³]为“和谐函数”，则其可能的“和谐数”为$\frac{5}{2}$．

Answer 1

分析 根据和谐函数的定义得g（x₁）+g（x₂）=lnx₁x₂=2C，于是x₁x₂=e^2C．故2C=5．

解答 解：∵g（x）=lnx，x∈[e²，e³]为“和谐函数”，
∴存在常数C，任意的x₁∈[e²，e³]，存在唯一的x₂∈[e²，e³]，使得g（x₁）+g（x₂）=lnx₁x₂=2C，
∴x₁x₂=e^2C．即x₂=$\frac{{e}^{2C}}{{x}_{1}}$，
∵x₁∈[e²，e³]，∴x₂∈[e^2C-3，e^2C-2]⊆[e²，e³]，
∴$\left\{\begin{array}{l}{2C-3≥2}\\{2C-2≤3}\end{array}\right.$，∴2C=5，即C=$\frac{5}{2}$．
故答案为：$\frac{5}{2}$．

点评 本题考查了对新定义的理解，对数函数的性质，属于中档题．