Question

13．已知函数f（x）=xlnx+ax+b在点（1，f（1））处的切线为3x-y-2=0．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若k∈Z，且存在x＞0，使得k＞$\frac{f（x+1）}{x}$成立，求k的最小值．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，求得切线的斜率和切点，由切线的方程，解方程可得a=2，b=-1，即可得到所求解析式；
（2）由题意可得$\frac{（x+1）ln（x+1）+2x+1}{x}$的最小值小于k，设g（x）=$\frac{（x+1）ln（x+1）+2x+1}{x}$（x＞0），则g′（x）=$\frac{x-1-ln（x+1）}{{x}^{2}}$，设h（x）=x-1-ln（x+1）（x＞0）．利用导数研究其单调性，根据零点存在定理可知：函数h（x）在（2，3）内有零点，且在（0，+∞）上有唯一零点，设该零点为x₀，则x₀-1=ln（x₀+1），x₀∈（2，3），即可得出g（x）的最大值．

解答 解：（1）函数f（x）=xlnx+ax+b的导数为f′（x）=1+a+lnx，
可得在点（1，f（1））处的切线切线的斜率为1+a，切点为（1，a+b），
由在点（1，f（1））处的切线为3x-y-2=0．
可得1+a=3，a+b=1，解得a=2，b=-1，
即有f（x）=xlnx+2x-1；
（2）k∈Z，且存在x＞0，使得k＞$\frac{f（x+1）}{x}$成立，即为
$\frac{（x+1）ln（x+1）+2x+1}{x}$的最小值小于k，
设g（x）=$\frac{（x+1）ln（x+1）+2x+1}{x}$（x＞0），
则g′（x）=$\frac{x-1-ln（x+1）}{{x}^{2}}$，
设h（x）=x-1-ln（x+1）（x＞0）．
h′（x）=1-$\frac{1}{x+1}$=$\frac{x}{x+1}$＞0，
即有h（x）在（0，+∞）上单调递增．
又h（2）＜0，h（3）＞0，根据零点存在定理可知：
函数h（x）在（2，3）内有零点，且在（0，+∞）上有唯一零点，
设该零点为x₀，则x₀-1=ln（x₀+1），x₀∈（2，3），
g（x）_min=$\frac{（{x}_{0}+1）ln（{x}_{0}+1）+2{x}_{0}+1}{{x}_{0}}$=x₀+2，
则k＞x₀+2，k∈Z，
故k的最小值为5．

点评 本题考查了利用导数研究曲线的切线方程和函数的单调性极值与最值、恒成立问题的等价转化方法，考查了函数零点存在定理，但是无法求出时的问题解决方法，考查了分类讨论的思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．