Question

18．若一条直线同时和两个曲线相切我们称此直线为两曲线的公切线，已知f（x）=x²，g（x）=-x²+2x+a
（1）若f（x）与g（x）只有一条公切线，求实数a值；
（2）若f（x）与g（x）有两条公切线，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 求得f（x），g（x）的导数，设f（x）=x²上切点（x₀，x₀²），设g（x）=-x²+2x+a上切点（x₁，-x₁²+2x₁+a），分别求得切线的方程，由公切线的定义可得斜率相等且纵截距相等，化为关于x₀的方程，由二次函数的最值可得最大值，运用方程函数的转化思想，即可得到（1）的a的值；（2）的a的范围．

解答 解：f（x）=x²的导数为f′（x）=2x，
g（x）=-x²+2x+a的导数为g′（x）=-2x+2，
设f（x）=x²上切点（x₀，x₀²），
可得切线方程为y=2x₀（x-x₀）+x₀²，即y=2x₀x-x₀²，
同理设g（x）=-x²+2x+a上切点（x₁，-x₁²+2x₁+a），
则切线方程为y=（-2x₁+2）（x-x₁）-x₁²+2x₁+a，
即y=（2-2x₁）x+a+x₁²，
两函数有公切线，即令上述两切线方程相同，
则有2x₀=2-2x₁，且-x₀²=a+x₁²，
消去x₁，化为a=-2（x₀-$\frac{1}{2}$）²-$\frac{1}{2}$，
令h（x₀）=-2（x₀-$\frac{1}{2}$）²-$\frac{1}{2}$，
可得x₀=$\frac{1}{2}$时，h（x₀）取得最大值-$\frac{1}{2}$，
（1）若f（x）与g（x）只有一条公切线，
即有关于x₀的方程有且只有两个相等的实根，
可得a=-$\frac{1}{2}$；
（2）若满足存在两条不同公切线，
只需关于x₀的方程a=-2（x₀-$\frac{1}{2}$）²-$\frac{1}{2}$有两个不等的实根，
可得a＜-$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查导数的运用：求切线的方程，考查函数方程的转化思想，以及二次函数的最值的求法，考查化简整理的运算能力，属于中档题．