Question

3．已知函数f（x）=x²-alnx（a∈R）．
（1）当a=-1时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）如果方程f（x）=0总有两个不相等的实数根，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求得f（x）的导数，可得在点（1，f（1））处的切线斜率和切点，由点斜式方程可得切线的方程；
（2）由题意可得a=$\frac{{x}^{2}}{lnx}$有两个不相等的实数根，设g（x）=$\frac{{x}^{2}}{lnx}$，求出导数，单调区间，可得g（x）的极小值，即可得到所求a的范围．

解答 解：（1）当a=-1时，f（x）=x²+lnx的导数为f′（x）=2x+$\frac{1}{x}$，
在点（1，f（1））处的切线斜率为3，切点为（1，1），
可得切线的方程为y-1=3（x-1），即为y=3x-2；
（2）方程f（x）=0总有两个不相等的实数根，
即为x²-alnx=0，即a=$\frac{{x}^{2}}{lnx}$有两个不相等的实数根，
设g（x）=$\frac{{x}^{2}}{lnx}$，g′（x）=$\frac{x（2lnx-1）}{（lnx）^{2}}$，
当x＞$\sqrt{e}$时，g′（x）＞0，g（x）递增；
当0＜x＜1或1＜x$\sqrt{e}$时，g′（x）＜0，g（x）递减．
可得x=$\sqrt{e}$处g（x）取得极小值，且为2e，
即有a＞2e，则a的取值范围是（2e，+∞）．

点评 本题考查导数的运用：求切线的方程和单调区间、极值，考查函数方程的转化思想的运用，属于中档题．