Question

14．在Rt△ABC中，BC=2，∠C=90°，点D满足$\overrightarrow{AD}=2\overrightarrow{DB}$，则$\overrightarrow{CB}•\overrightarrow{CD}$=$\frac{8}{3}$．

Answer 1

分析 运用向量的数量积的定义可得$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=|$\overrightarrow{AB}$|•|$\overrightarrow{AC}$|cosA=AC²，再由向量的加减运算和向量的平方即为模的平方，计算即可得到所求值．

解答 解：在Rt△ABC中，BC=2，∠C=90°，
$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=|$\overrightarrow{AB}$|•|$\overrightarrow{AC}$|cosA=AC²，且AB²-AC²=BC²=4，
由$\overrightarrow{AD}=2\overrightarrow{DB}$，可得$\overrightarrow{AD}$=$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{AB}$，
则$\overrightarrow{CB}•\overrightarrow{CD}$=（$\overrightarrow{AB}$-$\overrightarrow{AC}$）•（$\overrightarrow{AD}$-$\overrightarrow{AC}$）
=（$\overrightarrow{AB}$-$\overrightarrow{AC}$）•（$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{AB}$-$\overrightarrow{AC}$）
=$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{AB}$²-$\frac{5}{3}$$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$+$\overrightarrow{AC}$²
=$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{AB}$²-$\frac{5}{3}$$\overrightarrow{AC}$²+$\overrightarrow{AC}$²=$\frac{2}{3}$（$\overrightarrow{AB}$²-$\overrightarrow{AC}$²）
=$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{BC}$²=$\frac{2}{3}$×4=$\frac{8}{3}$．
故答案为：$\frac{8}{3}$．

点评 本题考查向量的数量积的定义和性质，主要是向量的平方即为模的平方，考查运算求解能力，属于中档题．