Question

12．设函数 f（x）=（x-a）ⁿ，其中n=6$\int_0^{\frac{π}{2}}{cosxdx，\frac{{{f^'}（0）}}{f（0）}}$=-3，则f（x）的展开式的各项系数之和为（　　）

• A． -1
• B． 1
• C． 2
• D． -2

Answer 1

分析 先利用定积分求出n的值，再对f（x）求导数，由此求出a的值，利用赋值法求出f（x）展开式的各项系数之和．

解答 解：∵n=6${∫}_{0}^{\frac{π}{2}}$cosxdx=6（sin$\frac{π}{2}$-sin0）=6，
∴f（x）=（x-a）⁶，
∴f′（x）=6（x-a）⁵，
∴f′（0）=-6a⁵，
f（0）=a⁶，
∴$\frac{f′（0）}{f（0）}$=$\frac{-{6a}^{5}}{{a}^{6}}$=$\frac{-6}{a}$=-3，
解得a=2；
∴f（x）=（x-2）⁶的展开式的各项系数之和为：
（1-2）⁶=1．
故选：B．

点评 本题主要考查求定积分，利用赋值法求二项式展开式各项系数和的应用问题，是基础题目．