Question

（本小题满分12分）如图，四棱锥中，平面，，，，为的中点.

（Ⅰ）证明：；

（Ⅱ）若二面角为，求直线与平面所成角的正切值.

（Ⅲ）若，求平面与平面PAB所成的锐二面角的余弦值

Answer 1

（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）2；（Ⅲ）.

【解析】

试题分析：（Ⅰ）证明CE⊥AB，即证AB⊥CE，根据已知条件容易想到取AB中点F，连接EF，CF，便可得到AB⊥EF，AB⊥CF，所以AB⊥平面CEF，所以AB⊥CE；

（Ⅱ）根据二面角的平面角的定义，以及线面垂直的判定定理及性质可知∠PDA是二面角P﹣CD﹣A的平面角，所以∠PDA=45°，所以PA=AD，并且由（Ⅰ）知∠CEF为CE与平面PAB所成的角，所以根据PA=AD即可求出tan∠CEF；

（Ⅲ）要求平面PCD与平面PAB所成的锐二面角的余弦值，需先找出这个二面角的平面角，先找平面PAB和平面PCD的交线，因为P点是这两个平面的公共点，所以交线过P点，并且发现，过P作平行于AB的直线PG，也平行于CD，所以PG是这两个平面的交线．并且容易说明PA⊥PG，PD⊥PG，所以∠DPA是平面PCD与平面PAB所成的锐二面角的平面角，因为PA=kAB=kAD，

所以这样即可求出cos∠DPA=．

试题解析：（Ⅰ）如下图，取AB的中点F，连结EF，FC，

则.

因为平面，

所以平面.

因为平面，

所以.

因为，

所以.

因为平面，平面，

所以平面.

因为平面，

所以.

（Ⅱ）因为平面， 平面，

所以.

因为，

所以平面.

所以.

所以为二面角的平面角.

所以.

所以.

因为，

所以.

由（Ⅰ）知，为与平面所成的角.

因为，

所以直线与平面所成角的正切值为2.

（Ⅲ）过点作，

由平面，，

由平面，， ，

为所求锐二面角的平面角.

考点：线面垂直的性质；线面垂直的判定定理；二面角、二面角的平面角及线面角的概念；以及求二面角的平面交点方法．