Question

已知椭圆M：

x2

8

+

y2

4

=1和直线l1：y=

3

x，若双曲线N的一条渐近线为l₁，其焦点与M的焦点相同．
（1）求双曲线N的方程；
（2）设直线l₂过点P（0，4），且与双曲线N相交于A，B两点，与x轴交于点Q（Q与双曲线N的顶点不重合），若

PQ

=λ1

QA

=λ2

QB

，且λ1+λ2=-

8

3

，求直线l₂的方程．

Answer 1

分析：（1）由题意，设双曲线N的方程为：x2 -

y2

3

=λ(λ＞0)，根据椭圆与双曲线的焦点相同，可求双曲线N的方程；
（2）由题意可知直线l₂的斜率存在且不可能为0，设直线l₂：x=m（y-4），与双曲线方程联立

x2 - y2 3 =1 x=m(y-4)

，消去x可得：（3m²-1）y²-24m²y+48m²-3=0，进而可得y1+y2=

24m2

3m2-1

②，y1y2=

48m2-3

3m2-1

③，根据

PQ

=λ1

QA

=λ2

QB

，可得（4m，-4）=λ₁（x₁-4m，y₁）=λ₂（x₂-4m，y₂），利用λ1+λ2=-

8

3

，即可求得直线l₂的方程．

解答：解：（1）由题意，设双曲线N的方程为：x2 -

y2

3

=λ(λ＞0)
∵椭圆M：

x2

8

+

y2

4

=1的焦点为（-2，0），（2，0）
∴双曲线N：x2 -

y2

3

=λ(λ＞0)的焦点为（-2，0），（2，0）
∴λ+3λ=4
∴λ=1
∴双曲线N的方程为：x2 -

y2

3

=1
（2）由题意可知直线l₂的斜率存在且不可能为0，设直线l₂：x=m（y-4），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
∴Q（4m，0）
联立方程

x2 - y2 3 =1 x=m(y-4)

，消去x可得：（3m²-1）y²-24m²y+48m²-3=0
∴3m²-1≠0，△=576m⁴-4（3m²-1）（48m²-3）＞0①
y1+y2=

24m2

3m2-1

②，y1y2=

48m2-3

3m2-1

③
∵

PQ

=λ1

QA

=λ2

QB

，
∴（4m，-4）=λ₁（x₁-4m，y₁）=λ₂（x₂-4m，y₂）
∴-4=λ₁y₁=λ₂y₂
∴λ1=

-4

y1

，λ2=

-4

y2

∴λ1+λ2=

-4

y1

+

-4

y2

=-

8

3

④
由②③④可得：m2=

1

4

且满足①式
∴直线l₂的方程为2x-y+4=0或2x+y-4=0

点评：本题以椭圆方程为载体，考查双曲线的标准方程，考查直线与双曲线的位置关系，考查向量知识的运用，解题的关键是联立方程，进而利用向量知识进行转化．