Question

7．设双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，过点F作x轴的垂线与双曲线交于B，C两点（点B在x轴上方），过点B作斜率为负数的渐近线的垂线，过点C作斜率为正数的渐近线的垂线，两垂线交于点D，若D到直线BC的距离小于虚轴长的2倍，则双曲线的离心率e的取值范围是（　　）

• A． 1＜e＜$\sqrt{3}$
• B． e＞$\sqrt{3}$
• C． 1＜e＜$\sqrt{5}$
• D． e＞$\sqrt{5}$

Answer 1

分析 求出直线BD的方程，可得D的坐标，利用D到直线BC的距离小于虚轴长的2倍，可得不等式，即可求出双曲线的离心率e的取值范围．

解答 解：由题意，B（c，$\frac{{b}^{2}}{a}$），直线BD的方程为y-$\frac{{b}^{2}}{a}$=$\frac{a}{b}$（x-c），
令y=0，可得x=c-$\frac{{b}^{3}}{{a}^{2}}$，根据对称性，可得D（c-$\frac{{b}^{3}}{{a}^{2}}$，0），
∵D到直线BC的距离小于虚轴长的2倍，
∴$\frac{{b}^{3}}{{a}^{2}}$＜4b，∴c²-a²＜4a²，
∵e＞1，∴1＜e＜$\sqrt{5}$，
故选C．

点评 本题考查双曲线的离心率e的取值范围，考查直线方程，考查学生的计算能力，属于中档题．