Question

19．春节期间商场为活跃节日气氛，特举行“购物有奖”抽奖活动，举办方设置了甲、乙两种抽奖方案，方案甲的中奖率为$\frac{2}{3}$，每次中奖可以获得20元购物代金券，方案乙的中奖率为$\frac{2}{5}$，每次中奖可以获得30元购物代金券，未中奖则不获得购物代金券，每次抽奖中奖与否互不影响，已知小明通过购物获得了2次抽奖机会．
（1）若小明选择方案甲、乙各抽奖一次，记他累计获得的购物代金券面额之和为X，求X≤30的概率；
（2）设小明两次抽奖都选择方案甲或都选择方案乙，且都选择方案乙时，已算得，累计获得的购物代金券面额之和X₁的数学期望E（X₁）=24，问：小明选择这两种方案中的何种方案抽奖，累计获得的购物代金券面额之和的数学期望较大？

Answer 1

分析 （1）记“小明累计得分X≤30”的事件为A，则事件A的对立事件是“X=50”，由P（X=50）=$\frac{2}{3}×\frac{2}{5}$，可得P（A）=1-P（X=50）．
（2）设小明两次都选择甲方案抽奖中奖次数为X₂，小明两次都选择方案乙抽奖中奖次数为X₁，则这两人都选择甲方案抽奖累计得分的数学期望为E（20X₂），都选择乙方案抽奖累计得分的数学期望为E（30X₁）．由已知可得，X₂～B（2，$\frac{2}{3}$），X₁～B（2，$\frac{2}{5}$），即可得出．

解答 解：（1）由题意知，甲方案中奖的概率为$\frac{2}{3}$，乙方案中奖的概率为$\frac{2}{5}$，且两次抽奖中奖与否互不影响，
记“小明累计得分X≤30”的事件为A，则事件A的对立事件是“X=50”，
因为P（X=50）=$\frac{2}{3}×\frac{2}{5}$=$\frac{4}{15}$，∴P（A）=1-P（X=50）=$\frac{11}{15}$．
即他的累计得分x≤30的概率为$\frac{11}{15}$．
（2）设小明两次都选择甲方案抽奖中奖次数为X₂，小明两次都选择方案乙抽奖中奖次数为X₁，则这两人都选择甲方案抽奖累计得分的数学期望为E（20X₂），都选择乙方案抽奖累计得分的数学期望为E（30X₁）．
由已知可得，X₂～B（2，$\frac{2}{3}$），X₁～B（2，$\frac{2}{5}$），
∴E（X₂）=2×$\frac{2}{3}$=$\frac{4}{3}$，E（X₁）=2×$\frac{2}{5}$=$\frac{4}{5}$，
从而E（20X₂）=20E（X₂）=$\frac{80}{3}$，E（30X₁）=30E（X₁）=$\frac{120}{5}$=24，
由于E（20X₂）＞E（30X₁），
∴他们选择甲方案抽奖，累计得分的数学期望较大．

点评 本题考查相互独立事件的概率计算公式、二项分布列的性质及其数学期望的求法，考查推理能力与计算能力，属于中档题．