Question

10．已知直线l：y=-x+3与椭圆C：mx²+ny²=1（n＞m＞0）有且只有一个公共点P（2，1）．
（I）求椭圆C的标准方程；
（II）若直线l′：y=-x+b交C于A，B两点，且PA⊥PB，求b的值．

Answer 1

分析 （I）联立直线与椭圆方程，消去y，可得x的方程，运用判别式为0，再将P的坐标代入椭圆方程，解方程可得m，n，进而得到椭圆方程；
（II）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），联立直线y=b-x和椭圆方程，消去y，可得x的方程，运用判别式大于0，韦达定理，再由A，B在直线上，代入直线方程，由垂直的条件，运用向量的数量积为0，化简整理，解方程可得b的值．

解答 解：（I）联立直线l：y=-x+3与椭圆C：mx²+ny²=1（n＞m＞0），
可得（m+n）x²-6nx+9n-1=0，
由题意可得△=36n²-4（m+n）（9n-1）=0，即为9mn=m+n，
又P在椭圆上，可得4m+n=1，
解方程可得m=$\frac{1}{6}$，n=$\frac{1}{3}$，
即有椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{6}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1；
（II）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
联立直线y=b-x和椭圆方程，可得3x²-4bx+2b²-6=0，
判别式△=16b²-12（2b²-6）＞0，
x₁+x₂=$\frac{4b}{3}$，x₁x₂=$\frac{2{b}^{2}-6}{3}$，
y₁+y₂=2b-（x₁+x₂）=$\frac{2b}{3}$，y₁y₂=（b-x₁）（b-x₂）=b²-b（x₁+x₂）+x₁x₂=$\frac{{b}^{2}-6}{3}$，
由PA⊥PB，即为$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$=（x₁-2）（x₂-2）+（y₁-1）（y₂-1）
=x₁x₂-2（x₁+x₂）+4+y₁y₂-（y₁+y₂）+1
=$\frac{2{b}^{2}-6}{3}$-2•$\frac{4b}{3}$+$\frac{{b}^{2}-6}{3}$-$\frac{2b}{3}$+5=0，
解得b=3或$\frac{1}{3}$，代入判别式，b=3不成立．
则b=$\frac{1}{3}$．

点评 本题考查椭圆方程的求法，注意运用待定系数法和方程思想，考查直线和椭圆的位置关系，注意联立方程组，运用判别式和韦达定理，同时考查两直线垂直的条件，考查化简整理的运算能力，属于中档题．