Question

已知函数，.

（1）函数的零点从小到大排列，记为数列，求的前项和；

（2）若在上恒成立，求实数的取值范围；

（3）设点是函数与图象的交点，若直线同时与函数，的图象相切于点，且

函数，的图象位于直线的两侧，则称直线为函数，的分切线.

探究：是否存在实数，使得函数与存在分切线？若存在，求出实数的值，并写出分切线方程；若不存在，请说明理由．

 

Answer 1

（1）；（2）；（3）当时，函数与存在分切线，为直线.

【解析】

试题分析：本题考查三角函数、导数及其应用、等差数列等基础知识；考查运算求解能力、等价转化能力；考查化归与转化、函数与方程、有限与无限等数学思想方法．第一问，先解三角方程，零点值构成等差数列，利用等差数列的通项公式，求和公式求；第二问，先将恒成立转化为，利用导数判断函数的单调性，求出最大值，得到a的取值范围；第三问，将函数和存在分切线转化为“”或“”在 上恒成立，结合（1）（2）判断是否符合题意，再进行证明.

试题解析：（1）∵， ∴ ∴，． 1分

∴， 2分

∴． 4分

（2）∵在上恒成立，

∴在上恒成立． 5分

设， ∴， 6分

∴在单调递增，单调递减，单调递增，单调递增，

∴的极大值为，

∴的最大值为， ∴ ． 8分

（3）若函数与存在分切线，则有“”或“”在 上恒成立，

∵当时，，．

∴，使得， ∴在不恒成立．

∴只能是在上恒成立． 9分

∴由（2）可知， ∵函数与必须存在交点， ∴． 10分

当时，函数与的交点为,∵，

∴存在直线在点处同时与、相切，

∴猜测函数与的分切线为直线． 11分

证明如下：

①∵，

设，则．

令，则有．

∴在上单调递增，∴在上有且只有一个零点．

又∵，∴在单调递减，在单调递增，

∴，∴，

即在上恒成立．

∴函数的图象恒在直线的上方． 13分

②∵在上恒成立，

∴函数的图象恒在直线的下方．

∴由此可知，函数与的分切线为直线，

∴当时，函数与存在分切线，为直线． 14分

考点：三角函数、导数及其应用、等差数列.