Question

5．讨论当k为何值时，直线y=kx+2与圆x²+y²=1：
（1）相交？
（2）相切？
（3）相离？

Answer 1

分析 由圆的方程求出圆心和半径，根据点到直线距离公式求出圆心到直线的距离，
（1）由直线与圆相交的条件列出不等式，求出k的取值范围；
（2）由直线与圆相切的条件列出方程，求出k的值；
（3）由直线与圆相离的条件列出不等式，求出k的取值范围．

解答 解：由题意得，圆的半径为1、圆心坐标是（0，0），
∴圆心（0，0）到直线y=kx+2距离d=$\frac{2}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$，
（1）∵直线y=kx+2与圆x²+y²=1相交，
∴$\frac{2}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$＜1，解得k＜$-\sqrt{3}$或k＞$\sqrt{3}$，
则k的取值范围是$（-∞，-\sqrt{3}）∪（\sqrt{3}，+∞）$；
（2）∵直线y=kx+2与圆x²+y²=1相切，
∴$\frac{2}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=1，解得k＜$-\sqrt{3}$或k＞$\sqrt{3}$，
则k的值是$-\sqrt{3}$或$\sqrt{3}$；
（3）∵直线y=kx+2与圆x²+y²=1相离，
∴$\frac{2}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$＞1，解得$-\sqrt{3}$＜k＜$\sqrt{3}$，
则k的取值范围是（$-\sqrt{3}，\sqrt{3}$）．

点评 本题考查直线和圆的位置关系的判断方法：几何法，及点到直线的距离公式的应用，考查化简、计算能力．