Question

已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（0＜ω＜3，0＜φ＜

π

2

，A＞0）的图象经过点P（0，2

3

），当x=-

5π

12

时，f（x）取得最小值-4．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）f（x）的图象经过怎样的平移和伸缩变换，可以得到y=4sinx的图象？

Answer 1

考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换,由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）由函数的最值求出A，把特殊点的坐标代入函数解析式求出φ的值，再根据当x=-

5π

12

时，f（x）取得最小值-4，结合0＜ω＜3，求出结合ω的值，从而得到函数的解析式．
（2）根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律得出结论．

解答： （1）解：∵函数f（x）=Asin（ωx+φ）的最小值为-4，可得A=4．
把点P（0，2

3

）代入f（x）的解析式可得2

3

=4sinφ，
∴sinφ=

3

2

，结合0＜φ＜

π

2

，可得φ=

π

3

，
∴f（x）=4sin（ωx+

π

3

）．
∵当x=-

5π

12

时，f（x）取得最小值-4，
∴-4=4sin（-ω×

5π

12

+

π

3

），
∴-ω×

5π

12

+

π

3

=2kπ-

π

2

，k∈z，∴ω=2-

24k

5

，结合0＜ω＜3，
可得ω=2，∴f（x）=4sin（2x+

π

3

）．
（2）将f（x）=4sin（2x+

π

3

）的图象上的每个点的横坐标伸长为原来的两倍，
纵坐标不变，可以得到 f（x）=4sin（x+

π

3

）的图象，
再向右平移

π

3

个单位，可以得到y=4sinx的图象．

点评：本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．