Question

已知函数f（x）=Asin（ωx+

π

3

）（A＞0，ω＞0）与y=-sinx的图象关于一直线对称．
（Ⅰ）求函数y=f（x）的表达式；
（Ⅱ）将函数y=f（x）的图象上各点的横坐标缩短为原来的

1

2

倍，纵坐标不变，得到函数y=g（x）的图象．若关于x的方程g（x）+m=0在区间[0，

π

2

]上有且只有一个实数解，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式,函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换

专题：三角函数的图像与性质

分析：（Ⅰ）可得两图象的形状和大小完全一样，只是位置不同，比较可得解析式；（Ⅱ）由图象变化法则可得g（x）=sin（2x+

π

3

），问题等价于函数g（x）的图象与y=-m只有一个公共点，数形结合可得．

解答： 解：（Ⅰ）∵函数f（x）=Asin（ωx+

π

3

）（A＞0，ω＞0）与y=-sinx的图象关于一直线对称，
∴它们的图象的形状和大小完全一样，只是位置不同，
∴函数y=f（x）的表达式为f（x）=sin（x+

π

3

）；
（Ⅱ）将函数y=f（x）的图象上各点的横坐标缩短为原来的

1

2

倍，纵坐标不变，得到函数y=g（x）的图象．
∴g（x）=sin（2x+

π

3

），可得g（x）在[0，

π

12

]单调递增，在[

π

12

，

π

2

]单调递减，
其图象如图所示，
关于x的方程g（x）+m=0在区间[0，

π

2

]上有且只有一个实数解，
等价于函数g（x）的图象与y=-m只有一个公共点，
由图象可得-m=1，或-

1

2

≤-m＜

3

2

，
∴实数m的取值范围为：m=-1或-

3

2

＜m≤

1

2

．

点评：本题考查三角函数的图象和性质，涉及三角函数图象的变换和作图，属中档题．