Question

若数列{a_n}满足a_n＋1＝a_n＋a_n＋2(n∈N^*)，则称数列{a_n}为“凸数列”．
(1)设数列{a_n}为“凸数列”，若a₁＝1，a₂＝－2，试写出该数列的前6项，并求出前6项之和；
(2)在“凸数列”{a_n}中，求证：a_n＋3＝－a_n，n∈N^*；
(3)设a₁＝a，a₂＝b，若数列{a_n}为“凸数列”，求数列前2011项和S₂₀₁₁.

Answer 1

（1）S₆＝0（2）见解析（3）a

(1)解：a₁＝1，a₂＝－2，a₃＝－3，a₄＝－1，a₅＝2，a₆＝3，故S₆＝0.
(2)证明：由条件得所以a_n＋3＝－a_n.
(3)解：由(2)的结论得a_n＋6＝－a_n＋3＝a_n，即a_n＋6＝a_n.
a₁＝a，a₂＝b，a₃＝b－a，a₄＝－a，a₅＝－b，a₆＝a－b，∴S₆＝0.
由(2)得S_6n＋k＝S_k，n∈N^*，k＝1，…，6，
故S₂₀₁₁＝S_335×6＋1＝a₁＝a.