Question

如图，已知四棱锥P-ABCD的底面是直角梯形，∠ABC=BCD=90°，AB=BC=PB=PC=2CD=2，侧面PBC⊥底面ABCD，O是BC中点，AO交BD于E。

（1）求证：PA⊥BD；
（2）求二面角P-DC-B的大小；
（3）求证：平面PAD⊥平面PAB。

Answer 1

（1）证明：， ， 平面平面ABCD=BC， ∴PO⊥平面ABCD， ， ∴， ∵PA在平面ABCD内的射影为AO， ∴。 （2）解：， ∴DC⊥平面PBC， ∴ ， ∴∠PCB为二面角P-DC-B的平面角， ∵△PBC是等边三角形， ∴∠PCB=60°，即二面角P-DC-B的大小为60°。
（3）证明：取PB的中点N，连结CN， ∵PC=BC， ∴CN⊥PB，                                            ① ∴， ∴， ， ∴平面PBC⊥平面PAB，                            ② 由①、②知CN⊥平面PAB，  连结DM、MN，则由MN∥AB∥CD， MN=AB=CD，得四边形MNCD为平行四边形，  ∴CN∥DM， ∴DM⊥平面PAB， ∵DM平面PAD，  ∴平面PAD⊥平面PAB。