Question

【题目】设函数的定义域为，如果存在正实数，使得对任意，都有，且恒成立，则称函数为上的“的型增函数”，已知是定义在上的奇函数，且在时， ，若为上的“2017的型增函数”，则实数的取值范围是__________．

Answer 1

【答案】

【解析】∵f(x)是定义在R上的奇函数,且当x>0时,f(x)=|xa|2a，

∴，

又f(x)为R上的“2017型增函数”，

(1)当x>0时，由定义有|x+2017a|2a>|xa|2a，

即|x+2017a|>|xa|，其几何意义为到点a小于到点a2017的距离，

由于x>0,故可知a+a2017<0得

当x<0时，

①若x+2017<0，则有|x+2017+a|+2a>|x+a|+2a，

即|x+a|>|x+2017+a|，其几何意义表示到点a的距离小于到点a2017的距离，

由于x<0,故可得aa2017>0,得；

②若x+2017>0，则有|x+2017a|2a>|x+a|+2a，

即|x+a|+|x+2017a|>4a，其几何意义表示到到点a的距离与到点a2017的距离的和大于4a，

(2)当a0时，显然成立，当a>0时，由于|x+a|+|x+2017+a||aa+2017|=|2a2017|，

故有|2a2017|>4a,必有20172a>4a,解得，

综上,对x∈R都成立的实数a的取值范围是，即 .