Question

【题目】设为等差数列的公差，数列的前项和，满足（），且，若实数（，），则称具有性质.

（1）请判断、是否具有性质，并说明理由；

（2）设为数列的前项和，若是单调递增数列，求证：对任意的（，），实数都不具有性质；

（3）设是数列的前项和，若对任意的，都具有性质，求所有满足条件的的值.

Answer 1

【答案】（1）不具有性质，具有性质，理由见解析；（2）证明见解析；（3）和.

【解析】

（1）求得时,数列的前7项,可得和首项,得到等差数列的通项,即可判断、是否具有性质；

（2）由题意可得 ,代入等差数列的通项公式和求和公式,化简整理可得入 ,结合集合中元素的特点,即可得证；

（3）求得的特点,结合 集合的特点,即可得到所求取值.

解：（1）由得,

又,得,

可得,

从而,

故不具有性质,具有性质.

（2）,

因为数列单调递增,所以,即,

又数列单调递增,则数列的最小项为,

则对任意,都有,

故实数都不具有性质.

（3）因为,所以,

两式相减得 ,

即,

当为偶数时,,即,此时为奇数；

当为奇数时,,即,则,

此时为偶数；

则,.

则,

故

,

因为对于一切递增,所以,

所以 .

若对任意的,都具有性质,则,

即,解得,又,则或,

即所有满足条件的正整数的值为和.