【题目】已知椭圆的右焦点是抛物线
的焦点,直线
与
相交于不同的两点
.
(1)求的方程;
(2)若直线经过点
,求
的面积的最小值(
为坐标原点);
(3)已知点,直线
经过点
,
为线段
的中点,求证:
.
【答案】(1);(2)
;(3)见解析
【解析】
(1)由题意方程求出右焦点坐标,即抛物线焦点坐标,进一步可得抛物线方程;
(2)设出直线方程,与抛物线方程联立,化为关于y的一元二次方程,利用根与系数的关系求得|y1﹣y2|,代入三角形面积公式,利用二次函数求最值;
(3)分直线AB的斜率存在与不存在,证明有,可得CA⊥CB,又D为线段AB的中点,则|AB|=2|CD|.
(1)∵椭圆的右焦点为
,∴
, ∴
的方程为
.
(2)(解法1)显然直线的斜率不为零,设直线
的方程为
,
由,得
,则
,
∴当,即直线
垂直
轴时,
的面积取到最小值,最小值为
.
(解法2)若直线的斜率不存在,由
,得
,
的面积
,
若直线的斜率存在,不妨设直线
的方程为
,
由,得
,
,且
,
,
即的面积的最小值为
.
(3)(解法1)∵直线的斜率不可能为零,设直线
方程为
,
由得
,∴
,
,
∴
,即
,
在中,
为斜边
的中点,所以
.
(解法2)(前同解法1)/span>
线段的中点
的坐标为
,
所以.
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【题目】设为等差数列
的公差,数列
的前
项和
,满足
(
),且
,若实数
(
,
),则称
具有性质
.
(1)请判断、
是否具有性质
,并说明理由;
(2)设为数列
的前
项和,若
是单调递增数列,求证:对任意的
(
,
),实数
都不具有性质
;
(3)设是数列
的前
项和,若对任意的
,
都具有性质
,求所有满足条件的
的值.
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【题目】已知函数,实数
满足
;
(1)当函数的定义域为
时,求
的值域;
(2)求函数关系式,并求函数
的定义域
;
(3)在(2)的结论中,对任意,都存在
,使得
成立,求实数
的取值范围;
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【题目】如图,在四棱锥中,底面
为正方形,
底面
,
,
为线段
的中点,
为线段
上的动点.
(1)平面与平面
是否互相垂直?如果垂直,请证明;如果不垂直,请说明理由.
(2)若,
为线段
的三等分点,求多面体
的体积.
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【题目】对于函数,如果存在实数
(
,且
不同时成立),使得
对
恒成立,则称函数
为“
映像函数”.
(1)判断函数是否是“
映像函数”,如果是,请求出相应的
的值,若不是,请说明理由;
(2)已知函数是定义在
上的“
映像函数”,且当
时,
.求函数
(
)的反函数;
(3)在(2)的条件下,试构造一个数列,使得当
时,
,并求
时,函数
的解析式,及
的值域.
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【题目】已知分别是双曲线
的左、右焦点,过
斜率为
的直线
交双曲线的左、右两支分别于
两点,过
且与
垂直的直线
交双曲线的左、右两支分别于
两点.
(1)求的取值范围;
(2)求四边形面积的最小值
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【题目】为了提高学生的身体素质,某校高一、高二两个年级共336名学生同时参与了“我运动,我健康,我快乐”的跳绳、踢毽等系列体育健身活动.为了了解学生的运动状况,采用分层抽样的方法从高一、高二两个年级的学生中分别抽取7名和5名学生进行测试.下表是高二年级的5名学生的测试数据(单位:个/分钟):
(1)求高一、高二两个年级各有多少人?
(2)设某学生跳绳个/分钟,踢毽
个/分钟.当
,且
时,称该学生为“运动达人”.
①从高二年级的学生中任选一人,试估计该学生为“运动达人”的概率;
②从高二年级抽出的上述5名学生中,随机抽取3人,求抽取的3名学生中为“运动达人”的人数的分布列和数学期望.
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