【题目】如图,在四棱锥中,底面
为正方形,
底面
,
,
为线段
的中点,
为线段
上的动点.
(1)平面与平面
是否互相垂直?如果垂直,请证明;如果不垂直,请说明理由.
(2)若,
为线段
的三等分点,求多面体
的体积.
【答案】(1)互相垂直,证明见解析(2)或
.
【解析】
(1)证明平面
中的
即可.
(2)利用多面体的体积为
,分
为线段
的两个不同的三等分点进行求解即可.
解法一:(1)平面与平面
互相垂直,
理由如下:
因为底面
,
平面
,
所以.
因为为正方形,所以
又,且
平面
,
所以平面
.
因为平面
,所以
因为,
为线段
的中点,所以
,
又,且
平面
,
所以平面
,
因为平面
,所以平面
平面
.
(2)因为底面
,
为线段
的中点,
所以点到底面
的距离为
,
则,
又为线段
的三等分点,
当时,
,
所以多面体的体积为
;
当时,
,
所以多面体的体积为
.
综上,多面体的体积为
或
.
解法二:(1)平面与平面
互相垂直,
理由如下:
因为底面
,
平面
,所以平面
底面
,
又平面底面
,
,
平面
,
所以平面
.
因为平面
,所以
因为,
为线段
的中点,所以
,
又,且
平面
,
所以平面
,
因为平面
,
所以平面平面
(2)同解法一.
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【题目】一种作图工具如图1所示.是滑槽
的中点,短杆
可绕
转动,长杆
通过
处铰链与
连接,
上的栓子
可沿滑槽AB滑动,且
,
.当栓子
在滑槽AB内作往复运动时,带动
绕
转动一周(
不动时,
也不动),
处的笔尖画出的曲线记为
.以
为原点,
所在的直线为
轴建立如图2所示的平面直角坐标系.
(Ⅰ)求曲线C的方程;
(Ⅱ)设动直线与两定直线
和
分别交于
两点.若直线
总与曲线
有且只有一个公共点,试探究:
的面积是否存在最小值?若存在,求出该最小值;若不存在,说明理由.
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【题目】太极图被称为“中华第一图”.从孔庙大成殿梁柱,到楼观台、三茅宫标记物;从道袍、卦摊、中医、气功、武术到韩国国旗,太极图无不跃居其上.这种广为人知的太极图,其形状如阴阳两鱼互抱在一起,因而被称为“阴阳鱼太极图”.在如图所示的阴阳鱼图案中,阴影部分可表示为
,设点
,则
的最大值与最小值之差是( )
A.B.
C.
D.
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【题目】某租车公司给出的财务报表如下:
年度 项目 | 2014年 (1-12月) | 2015年 (1-12月) | 2016年 (1-11月) |
接单量(单) | 14463272 | 40125125 | 60331996 |
油费(元) | 214301962 | 581305364 | 653214963 |
平均每单油费 | 14.82 | 14.49 | |
平均每单里程 | 15 | 15 | |
每公里油耗 | 0.7 | 0.7 | 0.7 |
有投资者在研究上述报表时,发现租车公司有空驶情况,并给出空驶率的计算公式为.
(1)分别计算2014,2015年该公司的空驶率的值(精确到0.01%);
(2)2016年该公司加强了流程管理,利用租车软件,降低了空驶率并提高了平均每单里程,核算截止到11月30日,空驶率在2015年的基础上降低了20个百分点,问2016年前11个月的平均每单油费和平均每单里程分别为多少?(分别精确到0.01元和0.01公里).
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【题目】为了解人们对于国家新颁布的“生育二胎放开”政策的热度,现在某市进行调查,随机调查了人,他们年龄的频数分布及支持“生育二胎”人数如下表:
年龄 | ||||||
频数 | ||||||
支持“生二胎” |
(1)由以上统计数据填下面列联表,并问是否有
的把握认为以
岁为分界点对“生育二胎放开”政策的支持度有差异;
年龄不低于 | 年龄低于 | 合计 | |
支持 | |||
不支持 | |||
合计 |
(2)若对年龄在的被调查人中随机选取两人进行调查,恰好这两人都支持“生育二胎放开”的概率是多少?
参考数据:,
,
.
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【题目】某公司举办捐步公益活动,参与者通过捐赠每天的运动步数获得公司提供的牛奶,再将牛奶捐赠给留守儿童.此活动不但为公益事业作出了较大的贡献,公司还获得了相应的广告效益.据测算,首日参与活动人数为人,以后每天人数比前一天都增加
,
天后捐步人数稳定在第
天的水平,假设此项活动的启动资金为
万元,每位捐步者每天可以使公司收益
元(以下人数精确到
人,收益精确到
元).
(1)求活动开始后第天的捐步人数,及前
天公司的捐步总收益;
(2)活动开始第几天以后公司的捐步总收益可以收回启动资金并有盈余?
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【题目】已知椭圆的右焦点是抛物线
的焦点,直线
与
相交于不同的两点
.
(1)求的方程;
(2)若直线经过点
,求
的面积的最小值(
为坐标原点);
(3)已知点,直线
经过点
,
为线段
的中点,求证:
.
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【题目】太极图是由黑白两个鱼形纹组成的图案,俗称阴阳鱼,太极图展现了一种相互转化,相对统一的和谐美,定义:能够将圆的周长和面积同时等分成两个部分的函数称为圆
的一个“太极函数”,则下列有关说法中:
①对于圆的所有非常数函数的太极函数中,都不能为偶函数;
②函数是圆
的一个太极函数;
③直线所对应的函数一定是圆
的太极函数;
④若函数是圆
的太极函数,则
所有正确的是__________.
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【题目】对于数列,定义
,
.
(1) 若,是否存在
,使得
?请说明理由;
(2) 若,
,求数列
的通项公式;
(3) 令,求证:“
为等差数列”的充要条件是“
的前4项为等差数列,且
为等差数列”.
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