Question

【题目】如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，，为线段的中点，为线段上的动点.

（1）平面与平面是否互相垂直？如果垂直，请证明；如果不垂直，请说明理由．

（2）若，为线段的三等分点，求多面体的体积．

Answer 1

【答案】（1）互相垂直，证明见解析（2）或.

【解析】

(1)证明平面中的即可.

(2)利用多面体的体积为,分为线段的两个不同的三等分点进行求解即可.

解法一：（1）平面与平面互相垂直,

理由如下：

因为底面,平面,

所以．

因为为正方形,所以

又,且平面,

所以平面．

因为平面,所以

因为,为线段的中点,所以,

又,且平面,

所以平面,

因为平面,所以平面平面．

（2）因为底面,为线段的中点,

所以点到底面的距离为,

则,

又为线段的三等分点,

当时,,

所以多面体的体积为；

当时,,

所以多面体的体积为．

综上,多面体的体积为或.

解法二：（1）平面与平面互相垂直,

理由如下：

因为底面,平面,所以平面底面,

又平面底面,,平面,

所以平面．

因为平面,所以

因为,为线段的中点,所以,

又,且平面,

所以平面,

因为平面,

所以平面平面

（2）同解法一．