Question

（本小题满分12分）已知椭圆，离心率为．

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）过的椭圆的右焦点任作一条斜率为（）的直线交椭圆于A，B两点，问在右侧是否存在一点D，连AD、BD分别交直线于M，N两点，且以MN为直径的圆恰好过，若存在，求的值；若不存在，请说明理由．

 

Answer 1

（Ⅰ）或；（Ⅱ）．

【解析】

试题分析：（Ⅰ）根据椭圆的定义及其间的基本关系易求得“”值（不一定是定义中的），从而得到椭圆的方程，求解时注意分焦点在和上两种情况进行讨论；（Ⅱ）本题属于解析几何的综合性题型，解题的关键在于将“形”的特征用“数”的形式定量地刻画出来，由与点有直接关系的四点着手，通过共线关系找到彼此的内在联系和数量关系；其次通过直径所对圆周角是直角来构造向量垂直也是解决本题的一个关键所在，是对已知条件的深层次的挖掘；在些基础上，充分运用方程思想和精确的运算及推理不难得出所求．

试题解析：（Ⅰ）当焦点在上时，

由，故所求椭圆方程为．

当焦点在上时，

由，故所求椭圆方程为．

综上所述，所求椭圆方程为或．

（Ⅱ）如图所示：

设直线的方程为，，则由

，根据韦达定理（根与系数的关系）得：

，，

由 …… ①

三点共线，即,且，,

,同理可得,

……②

根所题意,（直径所对圆周角），即，

……③

由①、②、③得：，

，由，

点在的右侧，，．

存在满足条件的点，且．

考点：①椭圆的方程和性质；②直线方程；③向量共线和垂直的动用；④根下系数的关系；⑤数形结合思想；⑥方程思想；⑦推理和运算能力．