Question

14．观察下列各式：1=1，1+$\frac{1}{1+2}$=$\frac{4}{3}$，1+$\frac{1}{1+2}$+$\frac{1}{1+2+3}$=$\frac{3}{2}$，1+$\frac{1}{1+2}$+$\frac{1}{1+2+3}$+$\frac{1}{1+2+3+4}$=$\frac{8}{5}$，由上述等式能得出怎样的结论？请写出结论，并证明．

Answer 1

分析 根据题意观察可得结论，并用裂项求和即可证明

解答 解：由1=1=$\frac{2}{2}$，1+$\frac{1}{1+2}$=$\frac{4}{3}$，1+$\frac{1}{1+2}$+$\frac{1}{1+2+3}$=$\frac{3}{2}$=$\frac{6}{4}$，1+$\frac{1}{1+2}$+$\frac{1}{1+2+3}$+$\frac{1}{1+2+3+4}$=$\frac{8}{5}$，由于可得到1+$\frac{1}{1+2}$+$\frac{1}{1+2+3}$+…+$\frac{1}{1+2+…+n}$=$\frac{2n}{n+1}$，
证明如下：由于$\frac{1}{1+2+…+n}$=$\frac{2}{n（n+1）}$=2（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$），
∴1+$\frac{1}{1+2}$+$\frac{1}{1+2+3}$+…+$\frac{1}{1+2+…+n}$=2（1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$）=2（1-$\frac{1}{n+1}$）=$\frac{2n}{n+1}$

点评 本题考查了归纳推理的问题，以及裂项求和，属于中档题